Egenskaper hos mått

Denna artikel utgör en fördjupning av artikeln om mått.

Ett mått har några intressanta egenskaper. Låt $(X,ℱ,\mu )$ vara ett måttrum.

Grundläggande egenskaper

Monotonicitet: Om $E_1,E_2\in ℱ$ där $E_1\subseteq E_2$ är

$\mu (E_1)\le \mu (E_2)$.

Subadditiv: Om $E_1,E_2,E_3,...\in ℱ$ är en följd av mängder (inte nödvändigtvis disjunkta) gäller att

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i\right)\le \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (E_i)$.

Konvergenssatser

Ett mått uppfyller följande konvergenssatser:Mall:Särskiljning behövs

• Om $A_1\subseteq A_2\subseteq A_3\subseteq ...\in ℱ$ är

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (A_i)$.

• Om $B_1\supseteq B_2\supseteq B_3\supseteq ...\in ℱ$ där $\mu (B_1)<\mathrm{\infty }$ är

$\mu \left(\bigcap _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_i\right)=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (B_i)$.

Gränsvärdena $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (A_i)$ och $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (B_i)$ finns eftersom måttet är monotont:

$\mu (A_1)\le \mu (A_2)\le ...$

$\mu (B_1)\ge \mu (B_2)\ge ...$

om $\mu (A_i)\nearrow \mathrm{\infty }$ definierar vi $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (A_i):=\mathrm{\infty }$.

Källor

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950