Fatous lemma

Fatous lemma är en olikhet inom matematisk analys som förkunnar att om $\mu$ är ett mått på en mängd $X$ och $f_n$ är en följd av funktioner på $X$, mätbara med avseende på $\mu$, så gäller

$\int \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_n\mathrm{d}\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\int f_n\mathrm{d}\mu .$

Bevis

Fatous lemma kan bevisas på följande vis. Låt $g_n(x)=\inf \{f_k(x):n\le k\}$. Då är $g_n\le f_n$ och $\{g_n\}$ är en växande följd av funktioner på $X$. Härav följer att

$\int g_n\mathrm{d}\mu \le \int f_n\mathrm{d}\mu$

gäller för varje $n$ och att gränsvärdet $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int g_n\mathrm{d}\mu$ existerar, varför

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int g_n\mathrm{d}\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\int f_n\mathrm{d}\mu$.

Det är också klart att $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{g}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_n$. Nu ger monotona konvergenssatsen att

$\int \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_n\mathrm{d}\mu =\int \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{g}_n\mathrm{d}\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int g_n\mathrm{d}\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\int f_n\mathrm{d}\mu$,

vilket slutför beviset.