Wishartfördelning

John Wishart (1898-1956).

Inom statistiken är Wishartfördelningen en generalisering till flera dimensioner av chitvåfördelningen eller till gammafördelningen då det är fråga om icke-heltal i frihetsgrader. Metoden är uppkallad efter John Wishart som tog fram den och först använde sig av den år 1928.

Definition

Antag att X är en $n\times p$ -matris, där varje rad är oberoende av varandra med ett p-variatvärde med medelvärdet 0:

$X_{(i)}=(x_i^1,\dots ,x_i^p{)}^T\sim N_p(0,V)$

Wishartfördelningen är då den sannolikhetsfördelningen av $p\times p$-matrisen i den slumpmässiga matrisen $S=X^{T}X$, även känd som spridningsmatrisen. Sannolikhetsfördelningen för S visas genom formeln

$S\sim W_p(V,n)$

Det positiva heltalet n är antalet frihetsgrader i matrisen, detta visas som W(V, p, n). Då n≥p är S inverterbar med sannolikhet 1, antaget att V är inverterbar.

Förekomster

Wishartfördelningen kan ses som fördelningen av delarna till en kovariantmatris som i sig är en del av en multivariant normal fördelning. Den förekommer ofta i ratio-test inom den multivarianta statistiska analysen och även i teorin om slumpmässiga matriser.

Metoden används också vid trådlös kommunikation då den spelar stor roll för att analysera digitala signaler för MIMO-kanaler.

Egenskaper

Log-förväntan

Utgå från följande formel:

$\mathrm{E}[\ln |𝐗|]=\sum _{i=1}^p\psi \left(\frac{n+1-i}{2}\right)+p\ln (2)+\ln |𝐕|$

där $\psi$ är digammafunktionen. Denna funktion som inkluderar Wishartfördelningen hittas då ett bayesiskt nätverk tas fram.

Entropi

Inom entropin, som är ett begrepp inom informationsteorin, har följande formel av fördelningen:

$\mathrm{H}[𝐗]=-\ln (B(𝐕,n))-\frac{n-p-1}{2}\mathrm{E}[\ln |𝐗|]+\frac{np}{2}$

där $B(𝐕,n)$ är en normaliserande konstant i fördelningen:

$B(𝐕,n)=\frac{1}{{\left|𝐕\right|}^{\frac{n}{2}}{2}^{\frac{np}{2}}{\mathrm{\Gamma }}_p(\frac{n}{2})}$

Detta visas i följande uträkning:

$\begin{array}{cc}\mathrm{H}[𝐗]& =\frac{n}{2}\ln |𝐕|+\frac{np}{2}\ln (2)+\ln ({\mathrm{\Gamma }}_p(\frac{n}{2}))-\frac{n-p-1}{2}\mathrm{E}[\ln |𝐗|]+\frac{np}{2}\\ & =\frac{n}{2}\ln |𝐕|+\frac{np}{2}\ln (2)+\frac{p(p-1)\ln (\pi )}{4}+\sum _{i=1}^p\ln \left(\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1-i}{2}\right)\right)-\frac{n-p-1}{2}(\sum _{i=1}^p\psi \left(\frac{n+1-i}{2}\right)+p\ln (2)+\ln |𝐕|)+\frac{np}{2}\\ & =\frac{n}{2}\ln |𝐕|+\frac{np}{2}\ln (2)+\frac{p(p-1)\ln (\pi )}{4}+\sum _{i=1}^p\ln \left(\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1-i}{2}\right)\right)-\frac{n-p-1}{2}\sum _{i=1}^p\psi \left(\frac{n+1-i}{2}\right)-\frac{n-p-1}{2}(p\ln (2)+\ln |𝐕|)+\frac{np}{2}\\ & =\frac{p+1}{2}\ln |𝐕|+\frac{1}{2}p(p+1)\ln (2)+\frac{p(p-1)\ln (\pi )}{4}+\sum _{i=1}^p\ln \left(\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1-i}{2}\right)\right)-\frac{n-p-1}{2}\sum _{i=1}^p\psi \left(\frac{n+1-i}{2}\right)+\frac{np}{2}\end{array}$

Karakteristisk funktion

Wishartfördelningens karakteristiska funktion är

$\mathrm{\Theta }\mapsto {|𝐈-2i\mathrm{\Theta }𝐕|}^{-\frac{n}{2}}$

Med andra ord

$\mathrm{\Theta }\mapsto \mathrm{E}\left[\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i\mathrm{t}\mathrm{r}(𝐗\mathrm{\Theta }))\right]={|𝐈-2i\mathrm{\Theta }𝐕|}^{-\frac{n}{2}}$

där E visar vad som förväntas.

Sats

Om en pxp slumpmässig matris X har en Wishartfördelning med m frihetsgrader och variansmatrisen V, d.v.s X≈Wp(V,m), och C är en qxp-matris med rank q, i så fall kan de skrivas som

$CX{T}^T\sim W_q(CV{C}^T,m)$.

Referenser

• Wishart, J. (1928). "The generalised product moment distribution in samples from a normal multivariate population". Biometrika 20A (1–2): 32–52. doi:10.1093/biomet/20A.1-2.32. JFM 54.0565.02.JSTOR 2331939.
• Zanella, A.; Chiani, M.; Win, M.Z. (April 2009). "On the marginal distribution of the eigenvalues of wishart matrices". IEEE Transactions on Communications 57 (4): 1050–1060.doi:10.1109/TCOMM.2009.04.070143.
• C.M. Bishop, Pattern Recognition and Machine Learning, Springer 2006, p. 693.
• Anderson, T. W. (2003). An Introduction to Multivariate Statistical Analysis (3rd ed.). Hoboken, N. J.: Wiley Interscience. p. 259. Mall:ISBN.
• Rao, C. R., Linear statistical inference and its applications, Wiley 1965, p. 535