Webers modulära funktioner

Inom matematiken är Webers modulära funktioner en familj av tre modulära funktioner f, f₁ och f₂, studerade av Heinrich Weber.

Definition

Låt $q = e^{2 π i τ}$ där τ är ett komplext tal i övre planhalvan. Då definieras Webers funktioner som

\begin{matrix} 𝔣 (τ) & = q^{- 1 / 48} \prod_{n > 0} (1 + q^{n - 1 / 2}) = e^{- 2 π i / 48} \frac{η (\frac{1}{2} (τ + 1))}{η (τ)} = \frac{η^{2} (τ)}{η (\frac{1}{2} τ) η (2 τ)} \\ 𝔣_{1} (τ) & = q^{- 1 / 48} \prod_{n > 0} (1 - q^{n - 1 / 2}) = \frac{η (\frac{1}{2} τ)}{η (τ)} \\ 𝔣_{2} (τ) & = \sqrt{2} q^{1 / 24} \prod_{n > 0} (1 + q^{n}) = \sqrt{2} \frac{η (2 τ)}{η (τ)} \end{matrix}

där η(τ) är Dedekinds etafunktion. Notera att direkt av definitionerna följer att

𝔣 (τ) 𝔣_{1} (τ) 𝔣_{2} (τ) = \sqrt{2}

Transformationen τ → –1/τ fixerar f och utbyter f₁ och f₂.

Låt argumenten av Jacobis thetafunktioner vara $q = e^{π i τ}$ . Då är

\begin{matrix} 𝔣 (τ) & = \sqrt{\frac{θ_{3} (0, q)}{η (τ)}} \\ 𝔣_{1} (τ) & = \sqrt{\frac{θ_{4} (0, q)}{η (τ)}} \\ 𝔣_{2} (τ) & = \sqrt{\frac{θ_{2} (0, q)}{η (τ)}} \end{matrix}

Av detta följer

𝔣_{1} (τ)^{8} + 𝔣_{2} (τ)^{8} = 𝔣 (τ)^{8}

som är en enkel konsekvens av den välkända identiteten

θ_{2} (0, q)^{4} + θ_{4} (0, q)^{4} = θ_{3} (0, q)^{4} .

De tre rötterna av den kubiska ekvationen

j (τ) = \frac{(x + 16)^{3}}{x},

där j(τ) är j-invarianten, ges av $x_{i} = 𝔣 (τ)^{24}, 𝔣_{1} (τ)^{24} o c h 𝔣_{2} (τ)^{24}$ . Eftersom

j (τ) = 32 \frac{(θ_{2} (0, q)^{8} + θ_{3} (0, q)^{8} + θ_{4} (0, q)^{8})^{3}}{(θ_{2} (0, q) θ_{3} (0, q) θ_{4} (0, q))^{8}}

är också

j (τ) = {(\frac{𝔣 (τ)^{16} + 𝔣_{1} (τ)^{16} + 𝔣_{2} (τ)^{16}}{2})}^{3}