Tjebysjovpolynom

Pafnutij Tjebysjov (1821-1894).

Tjebysjovpolynomen är en serie ortogonala polynom uppkallade efter Pafnutij Tjebysjov.

Definition

Tjebysjovpolynomen av första ordningen definieras med hjälp av differensekvationen

$\begin{array}{cc}{T}_0(x)& =1\\ T_1(x)& =x\\ T_{n+1}(x)& =2x{T}_n(x)-T_{n-1}(x).\end{array}.$

De kan även definieras trigonometriskt som

$T_n(x)=\cos (n\arccos x)=\cosh (n\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}x).$

Deras genererande funktion är

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_n(x)t^n=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.$

Den exponentiella genererande funktionen är

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_n(x)\frac{t^n}{n!}=\frac{1}{2}(e^{(x-\sqrt{x^2-1})t}+e^{(x+\sqrt{x^2-1})t}).$

En annan genererande funktion är

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{T}_n\left(x\right)\frac{t^n}{n}=\ln \frac{1}{\sqrt{1-2tx+t^2}}.$

Tjebysjovpolynomen av andra ordningen definieras med hjälp av differensekvationen

$\begin{array}{cc}{U}_0(x)& =1\\ U_1(x)& =2x\\ U_{n+1}(x)& =2x{U}_n(x)-U_{n-1}(x).\end{array}$

Deras genererande funktion är

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{U}_n(x)t^n=\frac{1}{1-2tx+t^2}.$

Egenskaper

För varje icke-negativt heltal n är T_n(x) och U_n(x) polynom av grad n.

Flera polynom, såsom Lucaspolynomen (L_n), Dicksonpolynomen (D_n) och Fibonaccipolynomen (F_n) är relaterade till Tjebysjovpolynomen.

Tjebysjovpolynomen av första ordningen satisfierar relationen

$T_j(x)T_k(x)=\frac{1}{2}(T_{j+k}(x)+T_{|k-j|}(x)),\mathrm{\forall }j,k\ge 0$

En analog identitet för Tjebysjovpolynomen av andra ordningen är

$T_j(x)U_k(x)=\frac{1}{2}(U_{j+k}(x)+U_{k-j}(x)),\mathrm{\forall }j,k.$

En formel analogisk till

$T_n(\cos \theta )=\cos (n\theta )$

är

$T_{2n+1}(\sin \theta )=(-1{)}^n\sin ((2n+1)\theta )$.

För $x\ne 0$ är

$T_n\left(\frac{1}{2}[x+x^{-1}]\right)=\frac{1}{2}(x^n+x^{-n})$ and

$x^n=T_n\left(\frac{1}{2}[x+x^{-1}]\right)+\frac{1}{2}(x-x^{-1})U_{n-1}\left(\frac{1}{2}[x+x^{-1}]\right)$

som följer ur definitionen genom att låta $x=e^{i\theta }$.

Låt

$C_n(x)=2T_n\left(\frac{x}{2}\right)$

då är

$C_n(C_m(x))=C_m(C_n(x)).$

Ortogonalitet

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{T}_n(x)T_m(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\{\begin{array}{cc}0& :n\ne m\\ \pi & :n=m=0\\ \pi /2& :n=m\ne 0\end{array}$

Relationer mellan Tjebysjovpolynom av första och andra ordningen

Följande relationer gäller mellan Tjebysjovpolynomen av första och andra ordningen:

$\frac{d}{dx}{T}_n(x)=n{U}_{n-1}(x)\text{ , }n=1,\dots$

$T_n(x)=\frac{1}{2}(U_n(x)-U_{n-2}(x)).$

$T_{n+1}(x)=x{T}_n(x)-(1-x^2)U_{n-1}(x)$

$T_n(x)=U_n(x)-x{U}_{n-1}(x),$

$U_n(x)=2\sum _{j\text{udda}}^n{T}_j(x)$, där n är udda.

$U_n(x)=2\sum _{j\text{jämnt}}^n{T}_j(x)-1$, där n är jämnt.

Explicita uttryck

Det finns ett flertal olika explicita uttryck för Tjebysjovpolynomen:

$T_n(x)=\{\begin{array}{cc}\cos (n\arccos (x)),& |x|\le 1\\ \cosh (n\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)),& x\ge 1\\ (-1{)}^n\cosh (n\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(-x)),& x\le -1\end{array}$

$\begin{array}{cc}{T}_n(x)& =\frac{(x-\sqrt{x^2-1}{)}^n+(x+\sqrt{x^2-1}{)}^n}{2}\\ & =\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k})(x^2-1{)}^k{x}^{n-2k}\\ & =x^n\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k})(1-x^{-2}{)}^k\\ & =\frac{n}{2}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1{)}^k\frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}(2x{)}^{n-2k}(n>0)\\ & =n\sum _{k=0}^n(-2{)}^k\frac{(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}(1-x{)}^k(n>0)\\ & ={}_2{F}_1(-n,n;\frac{1}{2};\frac{1-x}{2})\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}{U}_n(x)& =\frac{(x+\sqrt{x^2-1}{)}^{n+1}-(x-\sqrt{x^2-1}{)}^{n+1}}{2\sqrt{x^2-1}}\\ & =\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2k+1})(x^2-1{)}^k{x}^{n-2k}\\ & =x^n\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2k+1})(1-x^{-2}{)}^k\\ & =\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k-(n+1)}{k})(2x{)}^{n-2k}(n>0)\\ & =\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{k})(2x{)}^{n-2k}(n>0)\\ & =\sum _{k=0}^n(-2{)}^k\frac{(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!}(1-x{)}^k(n>0)\\ & =(n+1){}_2{F}_1(-n,n+2;\frac{3}{2};\frac{1}{2}[1-x])\end{array}$

där ${}_2{F}_1$ är hypergeometriska funktionen.

Relation till andra funktioner

Tjebysjovpolynomen är ett specialfall av Gegenbauerpolynomen, som igen är ett specialfall av Jacobipolynomen:

$T_n(x)=\frac{1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-\frac{1}{2}}{n})}{P}_n^{-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}(x)=\frac{n}{2}{C}_n^0(x)$ $U_n(x)=\frac{1}{2(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\frac{1}{2}}{n})}{P}_n^{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}(x)=C_n^1(x).$

Se även

• Hermitepolynom
• Legendrepolynom

Externa länkar

• Mall:Commonscat