Fibonaccipolynom

Fibonaccipolynomen är en polynomföljd som kan ses som en generalisering av Fibonaccital och definieras av

$F_n(x)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{om }n=1\\ x,& \text{om }n=2\\ x{F}_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),& \text{om }n\ge 3\end{array}$

De första fibonaccipolynomen är:

$F_1(x)=1$

$F_2(x)=x$

$F_3(x)=x^2+1$

$F_4(x)=x^3+2x$

$F_5(x)=x^4+3x^2+1$

$F_6(x)=x^5+4x^3+3x$

Värdet av det n:te fibonaccipolynomet för x = 1 är lika med det n:te fibonaccitalet.

Identiteter

Några identiteter för Fibonaccipolynomen är

$F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_n(x)+F_m(x)F_{n-1}(x)$

$F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_n(x{)}^2=(-1{)}^n.$

Fibonaccipolynomen kan skrivas i sluten form som

$F_n(x)=\frac{\alpha (x{)}^n-\beta (x{)}^n}{\alpha (x)-\beta (x)}$

där

$\alpha (x)=\frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2},\beta (x)=\frac{x-\sqrt{x^2+4}}{2}$

är lösningarna (i t) av

$t^2-xt-1=0.$

Genererande funktion

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{F}_n(x)t^n=\frac{t}{1-xt-t^2}$

Se även

• Lucaspolynom