Tjebysjovfilter

Olika ordningars Tjebysjovfilter med epsilon på 0,7 dvs ett passbandsrippel på 1,7dB.

Ett Tjebysjovfilter är inom signalbehandling ett analogt (passivt eller aktivt) eller digitalt låg- eller högpassfilter. Filtret har en branthet som överstiger Butterworthfiltret vid given ordning, men uppvisar i gengäld rippel och större fasvridning i passbandet. Filtret är uppkallat efter Pafnutij Tjebysjov därför att dess matematiska karaktäristik har härletts ur Tjebysjovpolynom.

Rippel

Filterparametern $ϵ$ är relaterad till passbandsripplet $\gamma$ i decibel enligt följande

${ϵ}^2=10^{\frac{\gamma }{10}}-1$

3dB-bandbredden $f_H$ är relaterad till rippel-bandbredden $f_C$ enligt:

$f_H=f_C\cosh (\frac{1}{n}\mathrm{arccosh}\frac{1}{ϵ})$

Beloppsfunktion

Ett analogt Tjebysjovlågpassfilter har magnituden:

$|H{|}^2=\frac{1}{1+{ϵ}^2{T}_n^2\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}$

där $T_n(\omega /{\omega }_0)$ är Chebyshevpolynomen definierade av

$T_n(\frac{\omega }{{\omega }_0})=\cos (n\cdot \arccos \frac{\omega }{{\omega }_0}),0\le \frac{\omega }{{\omega }_0}\le 1$

$T_n(\frac{\omega }{{\omega }_0})=\cosh (n\cdot \mathrm{arccosh}\frac{\omega }{{\omega }_0}),\frac{\omega }{{\omega }_0}>1$

Överföringsfunktion

Ett analogt lågpassfilters överföringsfunktion kan allmänt skrivas:

$H(s)=\frac{A_0}{(1+a_{1}s+b_1{s}^2)(1+a_{2}s+b_2{s}^2)...(1+a_{n}s+b_n{s}^2)}=\frac{A_0}{\prod _{i=1}^n(1+a_{i}s+b_i{s}^2)}$

där $A_0$ är förstärkningen vid dc (dvs $\omega =0$).

Vid Chebychevfilter ser de tre första ordningarnas polynom i nämnaren, för 1dB rippel i passbandet, ut som följer ($ϵ=0.5089$):

$n=1;s+1.965$
$n=2;s^2+1.098s+1.103$
$n=3;(s+0.494)(s^2+0.494s+0.994)$

Exempel: Aktivt analogt andra ordningens lågpassfilter

Ett realiseringsexempel

Kopplingen till höger realiserar ($A_0=1$):

$H(s)=\frac{1}{1+{\omega }_0{C}_1(R_1+R_2)s+{\omega }_0^2{R}_1{R}_2{C}_1{C}_2{s}^2}$

där alltså

$a_1={\omega }_0{C}_1(R1+R2)=1.098/1.103$

och

$b_1={\omega }_0^2{R}_1{R}_2{C}_1{C}_2=1/1.103$

När man designar filtret så antar man lämpligtvis kondensatorerna och räknar sedan fram resistorerna.

Filtrets karaktäristik

jw-metoden ger:

$H(j\omega )=\frac{1}{((1-b_i{\omega }^2)+j{a}_i\omega )}$

vars beloppsfuntion blir

$|H|=\frac{1}{\sqrt{(1-b_i{\omega }^2{)}^2+(a_i\omega {)}^2}}$

och fasfunktion

$Arg(H)=-\arctan \left(\frac{a_i\omega }{1-b_i{\omega }^2}\right)$

Om man sedan sätter $\omega =\omega /{\omega }_0$ får man en relativ uppskattning av filtrets karaktäristik.

Se även

• Butterworthfilter
• Besselfilter
• Bikvadratiskt filter

Källor

• Millman Jacob, Grabel Arvin, Microelectronics, Second Edition, 1988, Singapore
• Texas Instruments, Active Filter Design Techniques, Chapter 16.