Steinberggrupp (K-teori)

Inom algebraisk K-teori, ett delområde av matematiken, är Steinberggruppen, uppkallad efter Robert Steinberg, $\mathrm{St}(A)$ av en ring $A$ den universala centralutvidgningen av kommutatordelgruppen av den stabila allmänna linjära gruppen av $A$.

Den är relaterad till lägre $K$-grupper, speciellt $K_2$ och $K_3$.

Relation till $K$-teori

$K_1$

$K_1(A)$ är konollrummet av avbildningen $\phi :\mathrm{St}(A)\to {\mathrm{GL}}_{\mathrm{\infty }}(A)$, ty $K_1$ är abeliseringen av ${\mathrm{GL}}_{\mathrm{\infty }}(A)$ och avbildningen $\phi$ är surjektiv till kommutatordelgruppen.

$K_2$

$K_2(A)$ är centret av Steinberggruppen. Detta var Milnors definition, och den följer även ur den mer allmänna definitionen på högre $K$-grupper.

Den är även nollrummet av avbildningen $\phi :\mathrm{St}(A)\to {\mathrm{GL}}_{\mathrm{\infty }}(A)$. Faktiskt finns det en exakt följd

$1\to K_2(A)\to \mathrm{St}(A)\to {\mathrm{GL}}_{\mathrm{\infty }}(A)\to K_1(A)\to 1.$

Ekvivalent är den Schurmultiplikatorn av gruppen av elementära matriser, så den är även en homologigrupp: $K_2(A)=H_2(E(A);\mathbb{Z})$.

$K_3$

Mall:Harvtxt bevisade att $K_3(A)=H_3(\mathrm{St}(A);\mathbb{Z})$.

Källor

• Mall:Citation

• Mall:Citation

• Mall:Citation