Sluten differentialform

Mall:KällorEn differentialform $\omega =u_1(\overline{x})d{x}_1+u_2(\overline{x})d{x}_2+\cdots +u_k(\overline{x})d{x}_k$ av klass ${\mathbf{\text{C}}}^1$ (minst en gång kontinuerligt deriverbar) säges vara sluten om

$\frac{\partial u_i}{\partial x_j}=\frac{\partial u_j}{\partial x_i}$

eller, i annan formalism, om $d\omega =0$. d betecknar här den yttre derivatan. Notera att om $\omega$ är en k-form är $d\omega$ en k+1-form.

Vi ser att en differentialform i ${\mathbf{\text{R}}}^3$ är sluten om och endast om det motsvarande vektorfältet är rotationsfritt ($\mathrm{\nabla }\times \overline{u}=0$).

Relation mellan slutna och exakta differentialformer

En exakt differentialform är alltid sluten, eftersom $d^2\omega =0$ för varje differentialform $\omega$.

I ett enkelt sammanhängande område, och i synnerhet i ett stjärnformat område, är varje sluten differentialform exakt enligt Poincarés lemma.

I allmänhet gäller dock inte att varje sluten differentialform är exakt, och inom topologi studeras detta med hjälp av de Rhamkohomologi.

de Rhamkohomologi

Låt M vara en mångfald, och låt mängden av k-former på M betecknas med $\mathrm{\Omega }(M)$. Vi låter nu $d_k$ beteckna den yttre derivatan, verkande på k-former på M: $d_k:{\mathrm{\Omega }}^k(M)\to {\mathrm{\Omega }}^{k+1}(M)$

Den k:te de Rhamkohomologigruppen $H_{dR}^k(M)$ definieras nu som $\frac{\ker (d_k)}{im(d_{k-1})}$, eller med andra ord mängden av slutna differentialformer modulo exakta former.

Exempel: För en n-sfär ${𝐒}^n$ gäller att $H_{dR}^0(S^n)\cong H_{dR}^n(S^n)\cong ℝ$, medan $H_{dR}^k(S^n)=0$ för alla andra k. För sådana k är alltså alla slutna differentialformer exakta.