Riktningsderivata

Mall:KällorInom matematik, särskilt flervariabelanalys, är riktningsderivata ett mått på hur snabbt en funktion förändras i en viss riktning. Givet en reellvärd funktion f, en punkt a och en linje x = a + tv där v är en enhetsvektor, ges riktningsderivatan i riktningen v av

$f{\text{'}}_v(𝐚)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(𝐚+t𝐯)-f(𝐚)}{t}$

Med hjälp av gradienten kan riktningsderivatan även uttryckas på den mer praktiska formen

$f{\text{'}}_v(𝐚)=\mathrm{\nabla }f(𝐚)\cdot 𝐯$.

Riktningsderivatan utgör en generalisering till godtyckliga riktningar av den partiella derivatan, som fås då v sätts lika med en basvektor.

Bevis

Vi visar att

$f{\text{'}}_v(𝐚)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(𝐚+t𝐯)-f(𝐚)}{t}=\mathrm{\nabla }f(𝐚)\cdot 𝐯$

Sätt $h(t)=f(𝐚+t𝐯)$, vi har då

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(𝐚+t𝐯)-f(𝐚)}{t}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{h(t)-h(0)}{t}=h^{\prime }(0)$

Men enligt kedjeregeln är $h^{\prime }(t)=\mathrm{\nabla }f(𝐚+t𝐯)\cdot 𝐯$. Påståendet följer genom att sätta $t=0$.

Se även

• Fréchetderivata
• Gâteauxderivata
• Generalisringar av derivatan
• Liederivata
• Differentialform
• Strukturtensor

Externa länkar

• Mall:Commonscat