Riktningscosiner

En vektor v i ℝ³ med riktningsvinklar

Riktningscosiner och riktningsvinklar för enhetsvektorn v/Mall:PipevMall:Pipe

Inom analytisk geometri, är en euklidisk vektors riktningscosiner cosinusvärdena för vinklarna mellan vektorn och de tre koordinataxlarna. Ekvivalent, de är varje baskomponents bidrag till en enhetsvektor i vektorns riktning. Riktningscosiner är en analog utvidgning av den vanliga lutningen för högre dimensioner.

Tredimensionella kartesiska koordinater

Om v är en euklidisk vektor i ℝ³,

$𝐯=v_x{𝐞}_x+v_y{𝐞}_y+v_z{𝐞}_z,$

där ${𝐞}_x,{𝐞}_y,{𝐞}_z$ är standardbasen i kartesisk notation, är riktningscosinerna

$\begin{array}{cccc}a& =\cos \alpha =\frac{𝐯\cdot {𝐞}_x}{\Vert 𝐯\Vert }& & =\frac{v_x}{\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}},\\ b& =\cos \beta =\frac{𝐯\cdot {𝐞}_y}{\Vert 𝐯\Vert }& & =\frac{v_y}{\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}},\\ c& =\cos \gamma =\frac{𝐯\cdot {𝐞}_z}{\Vert 𝐯\Vert }& & =\frac{v_z}{\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}}.\end{array}$

och $v_x,v_y,v_z$ de kartesiska koordinaterna för enhetsvektorn $v/|v|$ och $\alpha ,\beta ,\gamma$ är riktningsvinklarna för vektorn $v$. Genom att addera ekvationernas respektive kvadrater fås

${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$

Riktningsvinklarna $\alpha ,\beta ,\gamma$ är trubbvinkliga eller spetsvinkliga, det vill säga, $0\le \alpha \le \pi ,0\le \beta \le \pi$ och $0\le \gamma \le \pi$ och de anger vinklarna som bildas mellan v och enhetsbasens vektorer, ${𝐞}_x,{𝐞}_y,{𝐞}_z$.

Mera allmänt, refererar riktningscosin till cosinusvärdet av vinkeln mellan varje par av euklidiska vektorer.

Exempel

Vinkeln mellan två riktningar

Om två vektorer är givna, v₁ med riktningscosinerna a₁, b₁ och c₁ och v₂ med riktningscosinerna a₂, b₂ och c₂, så gäller för vinkeln $\theta$ mellan v₁ och v₂:

$\cos \theta =a_1{a}_2+b_1{b}_2+c_1{c}_2$

Planets normalform

Om $\alpha ,\beta ,\gamma$ är riktningsvinklarna för en normal till ett plan är planets ekvation på normalform

$x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma =p$

där p är längden av normalen från origo till planet.