Produktregeln

Produktregeln används inom matematisk analys för att finna derivatan av produkten av två eller flera funktioner. För två funktioner kan regeln formuleras som

$(f\cdot g{)}^{\prime }=f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }$

eller med Leibniz notation

$\frac{d}{dx}(u\cdot v)=\frac{du}{dx}\cdot v+u\cdot \frac{dv}{dx}$

Med differentialnotation, kan detta skrivas som

$d(uv)=udv+vdu$

Med Leibniz notation, är derivatian av tre funktioner

$\frac{d}{dx}(u\cdot v\cdot w)=\frac{du}{dx}\cdot v\cdot w+u\cdot \frac{dv}{dx}\cdot w+u\cdot v\cdot \frac{dw}{dx}$

vilket kan generaliseras till k funktioner $f_1,\dots ,f_k$:

$\frac{d}{dx}[\prod _{i=1}^k{f}_i(x)]=\sum _{i=1}^k((\frac{d}{dx}{f}_i(x))\prod _{j\ne i}{f}_j(x))=(\prod _{i=1}^k{f}_i(x))\left(\sum _{i=1}^k\frac{f{\text{'}}_i(x)}{f_i(x)}\right)$

Exempel

Tillämpa produktregeln för att derivera

$x^2\sin (x)$

Med

$f(x)=x^2\Rightarrow f^{\prime }(x)=2x$

$g(x)=\sin (x)\Rightarrow g^{\prime }(x)=\cos (x)$

ger produktregeln för två funktioner

$(f\cdot g{)}^{\prime }=f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }=2x\sin (x)+x^2\cos (x)$

Bevis

Antag h(x) = f(x)g(x) och att f och g båda är differentierbara i x. Vi vill visa att h är differentierbar i x och att dess derivata ges av

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

För att åstadkomma detta, adderas

$f(x)g(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)g(x+\mathrm{\Delta }x)$

(vilket är noll och således inte ändrar värde) till täljaren för att möjliggöra dess faktorisering och sedan tillämpas egenskaper hos gränsvärden.

$\begin{array}{cc}{h}^{\prime }(x)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)g(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)g(x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)g(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)g(x+\mathrm{\Delta }x)+f(x)g(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)g(x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{[f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)]\cdot g(x+\mathrm{\Delta }x)+f(x)\cdot [g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)]}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}\cdot \underset{\text{* Se anmärkning nedan}}{\underbrace{\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }g(x+\mathrm{\Delta }x)}}+\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }f(x)\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)\end{array}$

* Det faktum att

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }g(x+\mathrm{\Delta }x)=g(x)$

kan härledas från satsen att differentierbara funktioner är kontinuerliga.

Se även

• Kvotregeln
• Partialintegration