Kvotregeln

Kvotregeln är inom matematisk analys, metoden att finna derivatan till en kvot av två differtierbara funktioner.

Låt

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

där

$g(x),h(x)$

är differentierbara funktioner och

$h(x)\ne 0.$

Enligt kvotregeln är derivatan av $f(x)$

$f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{[h(x){]}^2}.$

Exempel

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\frac{e^x}{x^2}& =\frac{\left(\frac{d}{dx}{e}^x\right)(x^2)-(e^x)\left(\frac{d}{dx}{x}^2\right)}{(x^2{)}^2}\\ & =\frac{(e^x)(x^2)-(e^x)(2x)}{x^4}\\ & =\frac{e^x(x-2)}{x^3}.\end{array}$

Kvotregeln kan användas till att finna derivatan av $f(x)=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\Rightarrow$

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\tan x& =\frac{d}{dx}\frac{\sin x}{\cos x}\\ & =\frac{(\frac{d}{dx}\sin x)(\cos x)-(\sin x)(\frac{d}{dx}\cos x)}{{\cos }^{2}x}\\ & =\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\\ & =\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x.\end{array}$

Bevis

Låt

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

Tillämpa definitionerna av derivator och egenskaperna hos gränsvärden:

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(x+k)-f(x)}{k}\\ & =\underset{k\to 0}{\lim }\frac{\frac{g(x+k)}{h(x+k)}-\frac{g(x)}{h(x)}}{k}\\ & =\underset{k\to 0}{\lim }\frac{g(x+k)h(x)-g(x)h(x+k)}{k\cdot h(x)h(x+k)}\\ & =\underset{k\to 0}{\lim }\frac{g(x+k)h(x)-g(x)h(x+k)}{k}\cdot \underset{k\to 0}{\lim }\frac{1}{h(x)h(x+k)}\\ & =\left(\underset{k\to 0}{\lim }\frac{g(x+k)h(x)-g(x)h(x)+g(x)h(x)-g(x)h(x+k)}{k}\right)\cdot \frac{1}{h(x{)}^2}\\ & =(\underset{k\to 0}{\lim }\frac{g(x+k)h(x)-g(x)h(x)}{k}-\underset{k\to 0}{\lim }\frac{g(x)h(x+k)-g(x)h(x)}{k})\cdot \frac{1}{h(x{)}^2}\\ & =(h(x)\underset{k\to 0}{\lim }\frac{g(x+k)-g(x)}{k}-g(x)\underset{k\to 0}{\lim }\frac{h(x+k)-h(x)}{k})\cdot \frac{1}{h(x{)}^2}\\ & =\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{h(x{)}^2}.\end{array}$

Se även

• Produktregeln
• Partialintegration