Moore–Penroses pseudoinvers

Moore–Penroses pseudoinvers är inom linjär algebra en generalisering av vissa egenskaper hos matrisinversen för icke-kvadratiska matriser, uppkallad efter Eliakim Hastings Moore och Roger Penrose, som beskrev den oberoende av varandra 1920 respektive 1955.

Definition

Moore–Penroses pseudoinvers till en matris $A$ är en matris $A^{+}$ som uppfyller:

1. $A{A}^{+}A=A$       ($A{A}^{+}$ behöver inte vara en enhetsmatris, men ska avbilda alla kolonnvektorer i $A$ på sig själva);
2. $A^{+}A{A}^{+}=A^{+}$       ($A^{+}$ is är en svag invers för den multiplikativa semigruppen);
3. $(A{A}^{+}{)}^{*}=A{A}^{+}$       ($A{A}^{+}$ är en hermitesk matris)
4. $(A^{+}A{)}^{*}=A^{+}A$       ($A^{+}A$ är också hermitesk).

$A^{*}$ är det hermiteska konjugatet till $A$. För reella matriser är detta samma sak som transponatet.

Egenskaper

Givet en matris $A$ med Moore–Penroses pseudoinvers $A^{+}$, gäller följande:

• $A^{+}$ är unik.
• Om $A$ är en inverterbar matris, är $A^{-1}=A^{+}$.
• Pseudoinversen av pseudoinversen är den ursprungliga matrisen, $(A^{+}{)}^{+}=A$.
• $A{A}^{+}$ är en ortogonal projektion på $A$s värderum.
• $A^{+}A$ är en ortogonal projektion på $A^{*}$s värderum.
• Pseudoinversen till en nollmatris är dess transponat.

Specialfall

Ortonormala rader och kolonner

Om $A$ har ortonormala kolonnvektorer ($A{A}^{*}=I$) eller ortonormala radvektorer ($A^{*}A=I$ så är $A^{+}=A^{*}$).

Linjärt oberoende kolonner och rader

Om kolonnerna i $A$ är linjärt oberoende är $A^{*}A$ inverterbar och Moore–Penroses pseudoinvers kan beräknas med:

$A^{+}=(A^{*}A{)}^{-1}{A}^{*}$.

Det följer då att $A^{+}$ är vänsterinvers till $A$.

Om raderna i $A$ är linjärt oberoende är $A{A}^{*}$ inverterbar och Moore–Penroses pseudoinvers kan beräknas med:

$A^{+}=A^{*}(A{A}^{*}{)}^{-1}$.

Det följer då att $A^{+}$ är högerinvers till $A$.

Beräkning

Singulärvärdesfaktorisering

Om matrisen $A$ har singulärvärdesfaktoriseringen $A=U\mathrm{\Sigma }{V}^{*}$ så fås $A^{+}=V{\mathrm{\Sigma }}^{+}{U}^{*}$. Pseudoinversen av $\mathrm{\Sigma }$, som är en "nästan diagonal" matris med matrisens singulärvärden i diagonalen, genom att ersätta varje element ${\sigma }_i$ i diagonalen med $\frac{1}{{\sigma }_i}$. Exempel:

$\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{cccc}{\sigma }_1& 0& 0& 0\\ 0& {\sigma }_2& 0& 0\\ 0& 0& {\sigma }_3& 0\end{array}\right){\mathrm{\Sigma }}^{+}=\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{{\sigma }_1}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{{\sigma }_2}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1}{{\sigma }_3}& 0\end{array}\right)$

Tillämpningar

Moore–Penroses pseudoinvers ger en minsta kvadrat-lösning till system av linjära ekvationer. Om systemet ges av $Ax=b$ ges minsta kvadrat-lösningen av $x=A^{+}b$.