Värderum

Värderummet, även känt som kolonnrummet, eller bilden till en linjär avbildning är avbildningens värdemängd.

Värderummet V för en linjär avbildning $F:𝕌\to 𝕍$ (där $𝕌$ och $𝕍$ är två vektorrum) definieras som:

$V(F)=\{F(\overline{u})\in 𝕍:\overline{u}\in 𝕌\}$

Det vill säga mängden av alla vektorer i $𝕍$ som nås av $F$. Att värderummet gör skäl för sitt namn och inte bara är en delmängd utan även ett underrum till $𝕍$ visas med hjälp av definitionen av en linjär avbildning. Ty om $\overline{u},\overline{v}\in V(F)$ och $\alpha \in ℝ$ så existerar det $\overline{z},\overline{w}\in 𝕌$ så att $\overline{u}=F(\overline{z}),\overline{v}=F(\overline{w})$ och då gäller:

1. $\overline{u}+\overline{v}=F(\overline{z})+F(\overline{w})=F(\overline{z}+\overline{w})\Rightarrow \overline{u}+\overline{v}\in V(F)$
2. $\alpha \overline{v}=\alpha F(\overline{w})=F(\alpha \overline{w})\Rightarrow \alpha \overline{v}\in V(F)$

Vilket är ekvivalent med att $V(F)$ är ett underrum av $𝕍$.

Eftersom $\overline{w}\in 𝕌$ och således kan skrivas på formen $\overline{w}=x_1{\overline{u}}_1+x_2{\overline{u}}_2+...+x_k{\overline{u}}_k=𝐮X$ där $𝐮=\{{\overline{u}}_1,{\overline{u}}_2,...,{\overline{u}}_k\}$ är en bas till $𝕌$ så gäller även:

$\overline{v}=F(\overline{w})=F(x_1{\overline{u}}_1+x_2{\overline{u}}_2+...+x_k{\overline{u}}_k)=x_{1}F({\overline{u}}_1)+x_{2}F({\overline{u}}_2)+...+x_{k}F({\overline{u}}_k)\in [F({\overline{u}}_1),F({\overline{u}}_2),...,F({\overline{u}}_k)]$

Det vill säga att $\overline{v}$ är en linjärkombination av $F({\overline{u}}_1),F({\overline{u}}_2),...,F({\overline{u}}_k)$ och $V(F)$ således spänns upp av det linjära höljet av dessa vektorer, vilket är ekvivalent med att säga att $V(F)$ spänns upp av det linjära höljet av kolonnerna i den matris $A$ som avbildningen $F$ beskrivs av.

Tolkning

Om avbildningen $F:𝕌\to 𝕍$ kan skrivas med matrisen $A$ innebär det att ekvationen $y=Ax$ har lösningar om och endast om $y\in V(F)$ , det vill säga om $y$ faktiskt nås av $F$. Detta innebär alltså att om du har ett system som beskrivs av $y=Ax$, där $A$ är någon slags transform som verkar på en insignal $x$ och ger en utsignal $y$ t.ex., så är det enbart utsignaler hörandes till värderummet som faktiskt kan erhållas.

Exempel

• Bestäm $V(F)$ om $F$ är en ortogonalprojektion i ett plan.

Lösning: Vid en ortogonalprojektion projiceras varje vektor ner i planet, alltså att man från en given vektor enbart erhåller den komposant som är parallell med planet. Således består $V(F)$ av alla vektorer i planet, ty det är dessa som nås av avbildningen.

• Bestäm $V(F)$ om $F$ är en vridning med vinkel $\theta$ kring en axel i rummet.

Lösning: Varje vektor i rummet kan erhållas genom att vrida någon annan vektor vinkel $\theta$, således kan samtliga vektorer nås av avbildningen och $V(F)$ utgörs helt enkelt av rummet.

• Bestäm en bas till $V(F)$ om $F:$ $ℝ$ ⁴ $\to$ $ℝ$ ⁴ ges av matrisen $A$:

$\left(\begin{array}{cccc}2& 1& -1& -4\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 2& -2& 0\\ 1& 0& 0& -2\end{array}\right)$

Lösning: $V(F)$ spänns upp av kolonnerna i $A$ och vi finner således en bas till värderummet genom att teckna kolonnernas beroendeekvation och plocka bort eventuella linjärkombinationer. ${\lambda }_1{A}_1+{\lambda }_2{A}_2+{\lambda }_3{A}_3+{\lambda }_4{A}_4=0$ (där $A_1,...,A_4$ är kolonnerna i $A$) ger följande ekvationssystem som löses med stegvis gausselimination:

$\left[\begin{array}{ccccc}2& 1& -1& -4& 0\\ 0& 1& -1& 0& 0\\ 0& 2& -2& 0& 0\\ 1& 0& 0& -2& 0\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccccc}0& 1& -1& 0& 0\\ 0& 1& -1& 0& 0\\ 0& 1& -1& 0& 0\\ 1& 0& 0& -2& 0\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& -1& 0& 0\\ 1& 0& 0& -2& 0\end{array}\right]\iff \begin{array}{ccccc}{\lambda }_2& & =& & {\lambda }_3\\ {\lambda }_1& & =& & 2{\lambda }_4\end{array}$

${\lambda }_3=t,{\lambda }_4=s\Rightarrow {\lambda }_2=t,{\lambda }_1=2s$, det vill säga en parameterlösning med två parametrar vilket innebär att vi kan plocka bort två av kolonnerna utan att påverka vad de spänner upp. Man ser också att $A_4=-2A_1,A_3=-A_2$, alltså att $A_3$ och $A_4$ är linjärkombinationer av övriga kolonner och således kan plockas bort. $A_1,A_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ spänner således upp $V(F)$ och utgör en bas för värderummet.

Se även

• Nollrum
• Dimensionssatsen
• Värdemängd

Referenser

• Janfalk, Ulf, Linjär Algebra, 2013, Matematiska institutionen, Linköpings Universitet

Mall:Linjär-algebra