Markovs olikhet

Mall:Källor Markovs olikhet är, inom sannolikhetsteorin, en uppskattning av en sannolikhet med hjälp av ett väntevärde:

Låt $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ vara ett sannolikhetsrum och $X:\mathrm{\Omega }⟶ℝ$ en stokastisk variabel på detta rum. Om $h:ℝ⟶[0,\mathrm{\infty })$ är en mätbar funktion så gäller, för varje tal $\epsilon >0$, följande uppskattning av sannolikheten $\mathbb{P}\{h(X)\ge \epsilon \}$:

$\mathbb{P}\{h(X)\ge \epsilon \}\le \frac{1}{\epsilon }𝔼\{h(X)\}.$

Bevis av Markovs olikhet

Välj ett godtyckligt tal $\epsilon >0$ och definiera mängden

$A=\{\omega \in \mathrm{\Omega }:h(X(\omega ))\ge \epsilon \}=\{\omega \in \mathrm{\Omega }:(h\circ X)(\omega )\in [\epsilon ,\mathrm{\infty })\}.$

Sannolikhetsmåttet $\mathbb{P}$ är en mängdfunktion

$\mathbb{P}:ℱ⟶[0,1]$

på sigma-algebran $ℱ$. För att vi skall kunna tala om sannolikheten för händelsen A, måste mängden A vara ett element i sigma-algebran $ℱ$. Den sista formuleringen av mängden A visar att vi kan skriva

$A=(h\circ X{)}^{-1}([\epsilon ,\mathrm{\infty }))=X^{-1}(h^{-1}([\epsilon ,\mathrm{\infty }))).$

Mängden $M=h^{-1}([\epsilon ,\mathrm{\infty }))$ är ett element i Borel sigma-algebran ${ℬ}_{ℝ}$, eftersom funktionen

$h:ℝ⟶[0,\mathrm{\infty })$

är mätbar.

Den för oss intressanta mängden A kan uttryckas med hjälp av mängden M enligt:

$A=X^{-1}(M).$

Vi vet att

$X:\mathrm{\Omega }⟶ℝ$

är en stokastisk variabel, det vill säga: den är en mätbar funktion. Detta innebär att mängden $X^{-1}(M)$ är ett element i sigma-algebran $ℱ$ och därmed är sannolikheten

$\mathbb{P}\{A\}=\mathbb{P}\{X^{-1}(M)\}$

definierad. Eftersom en sigma-algebra är sluten under komplement-bildning är mängden

$A^c=\mathrm{\Omega }\setminus A$

också ett element i $ℱ.$

För att visa Markovs olikhet skriver vi den stokastiska variabeln $h(X)$ som en summa av två stokastiska variabler, beroende på om $h(X)$ är större än talet $\epsilon$ eller ej:

$h(X)=h(X)1_A+\underset{\ge 0}{\underbrace{h(X)1_{A^c}}},$

där den andra termen är icke-negativ eftersom funktionen h endast antar icke-negativa värden.

Detta innebär att vi har olikheten

$h(X)\ge h(X)1_A.$

På mängden A är den stokastiska variabeln $h(X)$ större än, eller lika med, talet $\epsilon$, vilket ger uppskattningen

$h(X)1_A\ge \epsilon 1_A.$

Genom att beräkna väntevärdena av de båda sidorna i olikheten

$h(X)\ge \epsilon 1_A$

och utnyttja sambandet

$𝔼\{1_A\}=\mathbb{P}(A),$

fullbordas beviset av Markovs olikhet:

$𝔼\{h(X)\}\ge 𝔼\{\epsilon 1_A\}=\epsilon 𝔼\{1_A\}=\epsilon \mathbb{P}\{A\}.$

Tillämpningar av Markovs olikhet

Ofta är man intresserad av att uppskatta sannolikheter av typen $\mathbb{P}\{|X|\ge \epsilon \}.$

Markovs olikhet kan då tillämpas med den mätbara funktionen $h:ℝ⟶[0,\mathrm{\infty }),$ definierad av

$h(x)=|x|$(absolutbeloppet av det reella talet x).

Olikheten ger den övre begränsningen

$\mathbb{P}\{|X|\ge \epsilon \}\le \frac{1}{\epsilon }𝔼\{|X|\}.$

För att denna uppskattning skall vara meningsfull måste väntevärdet $𝔼\{|X|\}$ vara ändligt: annars får man den oanvändbara olikheten $\mathbb{P}\{|X|\ge \epsilon \}\le \mathrm{\infty }.$

Om man dessutom vet att väntevärdet $𝔼\{X^2\}$ är ändligt kan man få en bättre uppskattning av sannolikheten $\mathbb{P}\{|X|\ge \epsilon \}$ genom att man kan dividera med talet ${\epsilon }^2$ istället för med talet $\epsilon$:

$\mathbb{P}\{|X|\ge \epsilon \}=\mathbb{P}\{X^2\ge {\epsilon }^2\}\le \frac{1}{{\epsilon }^2}𝔼\{X^2\};$

Den första likheten kommer av att om x är ett reellt tal och a > 0, så gäller ekvivalensen

$|x|>a⟺x^2>a^2.$

Uppskattningen

$\mathbb{P}\{|X|\ge \epsilon \}\le \frac{1}{{\epsilon }^2}𝔼\{X^2\}$

går under namnet Чебышёв (Tjebyshov) olikhet, och är även den ofta använd vid uppskattning av sannolikheter.