Mangoldtfunktionen

Inom matematiken är Mangoldtfunktionen en aritmetisk funktion uppkallad efter den tyska matematikern Hans von Mangoldt.

Definition

Mangoldtfunktionen, vanligen betecknad med Λ(n), definieras som

$\mathrm{\Lambda }(n)=\{\begin{array}{cc}\log p& \text{om }n=p^k\text{ för något primtal }p\text{ och heltal }k\ge 1,\\ 0& \text{annars.}\end{array}$

Dess första värden är

$\log 1,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,\log 1,\log 7,\log 2,\log 3,...$

• Mall:OEIS-länk – talföljd på OEIS

Den är ett viktigt exempel av an aritmetisk funktion som är varken multiplikativ eller additiv.

Mangoldtfunktionen uppfyller identiteten

$\log n=\sum _{d\mid n}\mathrm{\Lambda }(d).$

Tjebysjovs funktion ψ(x) är relaterad till Mangoldtfunktionen enligt

$\psi (x)=\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n).$

Dirichletserier

Mangoldtfunktionen är väldigt viktig inom teorin av Dirichletserier, speciellt inom teorin av Riemanns zetafunktion. En formel där den förekommer är

$\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{\log (n)}\frac{1}{n^s}$

för $\mathrm{\Re }(s)>1$. Den logaritmiska derivatan är då

$\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{n^s}.$

Dessa är specialfall av en mer allmän relation för Dirichletserier. Om

$F(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(n)}{n^s}$

för en fullständigt multiplikativ funktion $f(n)$, och om serien konvergerar för $\mathrm{\Re }(s)>{\sigma }_0$, är för $\mathrm{\Re }(s)>{\sigma }_0$

$\frac{F^{\prime }(s)}{F(s)}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(n)\mathrm{\Lambda }(n)}{n^s}.$

Exponentiella serier

Hardy och Littlewood undersökte serien

$F(y)=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Lambda }(n)-1)e^{-ny}$

då $y\to 0^{+}$. Under antagandet av Riemannhypotesen demonstrerade de att

$F(y)=𝒪\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right).$

Källor

• Mall:Enwp
• Allan Gut, Some remarks on the Riemann zeta distribution (2005)
• Mall:Springer
• Chris King, Primes out of thin air (2010)
• Heike, How plot Riemann zeta zero spectrum in Mathematica? (2012)