Helmholtz sats

Helmholtz sats är grundläggande inom vektoranalysen. Satsen fastslår att varje tillräckligt slätt, snabbt föränderligt vektorfält i tre dimensioner, kan skrivas som en summa av ett virvelfritt vektorfält och ett solenoidalt (källfritt) vektorfält, vilket också är känt som Helmholtzuppdelningen efter Hermann von Helmholtz.

På grund av att det virvelfria vektorfältet har en skalärpotential och ett solenoidalt fält har en vektorpotential, innebär Helmholtzuppdelningen att ett vektorfält kan uppdelas i en summa av formen

$-\mathrm{grad}\mathrm{\Phi }+\mathrm{curl}𝐀$

där Mall:Math är ett skalärt fält, kallat skalärpotential och Mall:Math är ett vektorfält kallat vektorpotential.

Formell beskrivning

Låt Mall:Math vara ett vektorfält över ett slutet område Mall:Math, vilket är dubbelt kontinuerligt differentierbart och låt Mall:Mvar vara ytan som omsluter området Mall:Mvar. Då kan Mall:Math delas upp i en virvelfri komponent och en källfri komponent:

$𝐅=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }+\mathrm{\nabla }\times 𝐀,$

där

$\mathrm{\Phi }(𝐫)=\frac{1}{4\pi }\underset{V}{\int }\frac{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\cdot 𝐅\left({𝐫}^{\prime }\right)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\mathrm{d}{V}^{\prime }-\frac{1}{4\pi }{\oint }_S{\widehat{𝐧}}^{\prime }\cdot \frac{𝐅\left({𝐫}^{\prime }\right)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\mathrm{d}{S}^{\prime }$

$𝐀(𝐫)=\frac{1}{4\pi }\underset{V}{\int }\frac{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\times 𝐅\left({𝐫}^{\prime }\right)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\mathrm{d}{V}^{\prime }-\frac{1}{4\pi }{\oint }_S{\widehat{𝐧}}^{\prime }\times \frac{𝐅\left({𝐫}^{\prime }\right)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\mathrm{d}{S}^{\prime }$

och ${\mathrm{\nabla }}^{\prime }$ är gradienten med avseende på ${𝐫}^{\prime }$.

Om Mall:Math och därför är obegränsad och Mall:Math avtar snabbare än $1/r$ då Mall:Math, då är den andra komponenten av både skalärpotentialen och vektorpotentialen noll. Det vill säga,

$\mathrm{\Phi }(𝐫)=\frac{1}{4\pi }\underset{\text{hela rummet}}{\int }\frac{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\cdot 𝐅\left({𝐫}^{\prime }\right)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\mathrm{d}{V}^{\prime }$

$𝐀(𝐫)=\frac{1}{4\pi }\underset{\text{hela rummet}}{\int }\frac{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\times 𝐅\left({𝐫}^{\prime }\right)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\mathrm{d}{V}^{\prime }$

Källor

• Mall:Enwp