Differential

För den fordonstekniska delen, se Differentialväxel, Differentialbroms, Torsendifferential

---

Differential är en term inom matematisk analys för en infinitesimal - oändligt liten - ändring i en funktion.

Definition i Rⁿ

Låt $f:U\to {ℝ}^m$ vara en funktion och $U$ en öppen delmängd i ${ℝ}^n$. Funktionen $f$ säges vara differentierbar i $a\in U$ om det existerar en linjär avbildning $L$ sådan att

$\underset{|h|\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{|h|}=0$.

Den linjära avbildningen $L$ ovan bestäms entydigt av gränsvärdet och kallas differentialen till $f$ i $a$ samt betecknas $d{f}_a$. Differentialen blir således en linjär approximation till differensen ${\mathrm{\Delta }}_{a}f(h)=f(a+h)-f(a)$ för $h$ nära noll, eller omformulerat, $f(a+h)\approx f(a)+d{f}_a(h)$. Matrisen hörande till differentialen betecknas $f^{\prime }(a)$ och kallas funktionalmatrisen eller jacobimatrisen.

I fallet $m=n=1$, så sammanfaller $f^{\prime }(a)$ med derivatan i $a$, och i fallet $m=1,n>1$, så betecknas vanligen $f^{\prime }(a)$ med $\mathrm{\nabla }f(a)$.

Differential och riktningsderivata

Riktningsderivatan, $D_{v}f(a)$, av $f$ i $a$ utmed riktningen $v\ne 0$ ges av gränsvärdet

$D_{v}f(a)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}$.

En räkning ger,

$D_{v}f(a)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(a+tv)-f(a)-d{f}_a(tv)+d{f}_a(tv)}{t}=$

=$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(a+tv)-f(a)-d{f}_a(tv)}{t}+d{f}_a(v)=0+d{f}_a(v)=d{f}_a(v)$

varför $D_{v}f(a)=d{f}_a(v)$. Riktningsderivatan kan sålunda uttryckas med differentialen; speciellt betyder detta att riktningsderivatan är linjär i $v$, givet konventionen $D_0=0$.

Klassisk framställan medelst Leibniz notation

Betrakta fallet $m=n=1$ och beteckna med $x$ identitetsfunktionen $ℝ\to ℝ$. Eftersom derivatan av $x$ är 1, så är dess differential $d{x}_a(h)=1\cdot h=h$. Om $f:ℝ\to ℝ$ är en differentierbar funktion, så gäller enligt definitionen ovan $d{f}_a(h)=f^{\prime }(a)h$ d.v.s. $d{f}_a(h)=f^{\prime }(a)d{x}_a(h)$. Om nu Leibniz notation, $f^{\prime }(a)=df/dx$, nyttjas och index samt variabeln $h$ undertrycks, så erhålls, tillika ges mening åt, den klassiska formeln

$df=\frac{df}{dx}dx$.

Analogt fås i fallet $m=1,n>1$ den klassiska formeln

$df=\frac{\partial f}{\partial x_1}d{x}_1+\dots +\frac{\partial f}{\partial x_n}d{x}_n$.

Räkneexempel: Approximation

Låt $f:ℝ\to ℝ$ ges av $f(x)=\sin (x)$. Differentialen av $f$ vid $a=\pi$ ges då av multiplikation med $f^{\prime }(\pi )=\cos (\pi )=-1$. Ett närmrevärde till $f(3)$ är då med $h=3-\pi \approx -0.14$ och $a=\pi$:

$f(3)=f(\pi +(3-\pi ))=f(a+h)\approx f(a)+d{f}_a(h)\approx f(\pi )+(-1)\cdot (-0.14)=0.14.$.

Anm. Med fem decimalers noggrannhet är $f(3)\approx 0.14112$.