Hardys olikhet

Mall:Källor Hardys olikhet är en matematisk olikhet uppkallad efter Godfrey Harold Hardy som säger att om $a_1,a_2,a_3,...$ är en talföljd av icke-negativa tal med något element skilt från noll gäller det att:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{a_1+...+a_n}{n}\right)}^p<{\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n^p$

för varje positivt reellt tal $p>1$.

En integralversion av Hardys olikhet säger att om f är en integrerbar funktion med icke-negativa värden gäller:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{(\frac{1}{x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt)}^{p}dx\le {\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x{)}^{p}dx$

med likhet om och endast om $f(x)=0$ nästan överallt.

Se även

• Carlemans olikhet