Carlemans olikhet

Carlemans olikhet är en matematisk olikhet namngiven efter Torsten Carleman, som var den förste att publicera olikheten 1923^[1].

Låt $a_{1}, a_{2}, . . .$ vara en följd av icke-negativa reella tal. Då gäller det att

\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{1} . . . a_{n})^{\frac{1}{n}} \leq e \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} .

Konstanten $e$ i olikheten är den bästa möjliga; för mindre konstanter gäller inte olikheten. Om $a_{1}, a_{2} . . .$ är positiva istället för icke-negativa är olikheten strikt.

Bevis

Utgå från Hardys olikhet:

\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{k} \sum_{k = 1}^{n} a_{k})}^{p} < {(\frac{p}{p - 1})}^{p} \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{p}

ta den inre summan i vänsterledet, ersätt $a_{k}$ med $a_{k}^{\frac{1}{p}}$ och skriv om på följande sätt:

{(\frac{1}{k} \sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{\frac{1}{p}})}^{p} = \exp \frac{1}{p} (\ln \sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{\frac{1}{p}} - \ln \sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{0})

Låt $p \to \infty$ och skriv om exponenten som en derivata av den nya variabeln x, som här är noll:

\lim_{p \to \infty} \exp \frac{1}{p} (\ln \sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{\frac{1}{p}} - \ln \sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{0}) = \exp ({[\frac{d}{d x} (\ln \sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{x})]}_{x = 0}) = \exp ({[\frac{\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{x} \ln a_{k}}{\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{x}}]}_{x = 0})

Applicera nu $x = 0$ då man får:

\exp ({[\frac{\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{x} \ln a_{k}}{\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{x}}]}_{x = 0}) = \exp (\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \ln a_{k}) = {(\prod_{k = 1}^{n} a_{k})}^{\frac{1}{n}} .

Betrakta nu högerledet i Hardys olikhet och utför samma steg, ersätt $a_{k}$ med $a_{k}^{\frac{1}{p}}$ och låt p gå mot oändligheten

\lim_{p \to \infty} {(\frac{p}{p - 1})}^{p} \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = e \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

detta ger oss den icke-strikta varianten av Carlemans olikhet:

\sum_{n = 1}^{\infty} {(\prod_{k = 1}^{n} a_{k})}^{\frac{1}{n}} \leq e \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

Referenser

↑ T. Carleman, Sur les fonctions quasi-analytiques, Conférences faites au cinquième congres des mathématiciens Scandinaves, Helsinki (1923), 181-196.

Mall:Tidskriftsref

Mall:Auktoritetsdata

[1] T. Carleman, Sur les fonctions quasi-analytiques, Conférences faites au cinquième congres des mathématiciens Scandinaves, Helsinki (1923), 181-196.

[1]

Carlemans olikhet

Bevis

Referenser

Navigeringsmeny

Sök