Grassmannmått

Ett Grassmannmått är ett mått i linjär algebra, namngett efter den tyska matematikern Hermann Grassmann.

Formell definition

Låt $0<m<n$ vara heltal och bilda Grassmannmångfalden $G(n,m)$. Definiera en funktion från ortogonalgruppen $O(n)$ till $G(n,m)$ på följande sätt:

${\mathrm{\Xi }}_V:O(n)\to G(n,m)$, så att ${\mathrm{\Xi }}_V(g)=gV.$

Grassmannmåttet ${\gamma }_{n,m}$ ett bildmått:

${\gamma }_{n,m}:={\mathrm{\Xi }}_{V\mathrm{\#}}{\theta }_n,$

dvs för $A\subset G(m,n)$

${\gamma }_{n,m}(A)={\theta }_n(\{g\in O(n):gV\in A\}).$

Här är ${\theta }_n$ det vridningsinvariant måttet i $O(n)$.

Egenskaper

• Eftersom måttet ${\theta }_n$ är vridningsinvariant så är Grassmannmåttet också "vridningsinvariant":

${\gamma }_{n,m}(gA)={\gamma }_{n,m}(A),$

för $A\subset G(m,n)$. Här

$gA:=\{gW:W\in A\}.$

• Eftersom Grassmannmåttet är vridningsinvarianta beror det inte på vilket delrum V man väljer. Därför väljer man ofta delrummet $V={ℝ}^m$.

Favardmått

Man definierar det Favardmåttet med hjälp av Grassmannmåttet. För heltalen $0<m<n$ är det m-dimensionella Favardmåttet med en parameter 1 ett Borelmått ${ℐ}_1^m:\text{Bor}{ℝ}^n\to [0,\mathrm{\infty }]$, definierad som:

${ℐ}_1^m(A):=\underset{G(n,m)}{\int }\underset{V}{\int }{\mathscr{H}}^0(A\cap P_V^{-1}\{v\})d{\mathscr{H}}^m(v)d{\gamma }_{n,m}(V),$

där

• integralen

$\underset{G(n,m)}{\int }d{\gamma }_{n,m}$

är måttintegralen med avseende på måttet ${\gamma }_{n,m},$

• integralen

$\underset{V}{\int }d{\mathscr{H}}^m$

är måttintegralen med avseende på det m-dimensionella Hausdorffmåttet ${\mathscr{H}}^m$ över delrummet $V\in G(n,m),$

• måttet ${\mathscr{H}}^0$ är det nolldimensionella Hausdorffmåttet dvs räknemåttet och

• mängden

$P_V^{-1}\{v\}:=\{x\in {ℝ}^n:P_V(x)=v\}$

för $v\in V\in G(m,n).$

Se även

• Ortogonalgrupp
• Grassmannmångfald