Generaliserat medelvärde

Ett generaliserat medelvärde är en generalisering av de vanliga aritmetiska, geometriska och harmoniska medelvärdena.

Definition

Ett generaliserat medelvärde av de positiva talen $x_1,x_2,\dots x_n$ är av formen

$M_p(x_1,x_2,\dots ,x_n)={\left(\frac{\sum _{k=1}^n{x}^p}{n}\right)}^{1/p}={\left(\frac{x_1^p+x_2^p+\dots +x_n^p}{n}\right)}^{1/p}$

Eftersom

$\underset{p\to 0}{\lim }{M}_p(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt[n]{x_1\cdot \dots \cdot x_n}$

brukar man definiera

$M_0(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt[n]{x_1\cdot \dots \cdot x_n}$

Egenskaper

Ett generaliserat medelvärde är strikt, homogent, och symmetriskt.

$M_p(\overline{x})={\left(\frac{1}{n}\right)}^{\frac{1}{p}}\Vert \overline{x}{\Vert }_p$.

Specialfall

Några specialfall:

• $\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{M}_p(x_1,\dots ,x_n)=\min \{x_1,\dots ,x_n\}$ - Minimum
• $M_{-1}(x_1,\dots ,x_n)=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots +\frac{1}{x_n}}$ - Harmoniskt medelvärde
• $M_0(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt[n]{x_1\cdot \dots \cdot x_n}$ - Geometriskt medelvärde
• $M_1(x_1,\dots ,x_n)=\frac{x_1+\dots +x_n}{n}$ - Aritmetiskt medelvärde
• $M_2(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt{\frac{x_1^2+\dots +x_n^2}{n}}$ - Kvadratiskt medelvärde
• $\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{M}_p(x_1,\dots ,x_n)=\max \{x_1,\dots ,x_n\}$ - Maximum

Ordning

Om $p<q$ gäller

$M_p(x_1,\dots ,x_n)\le M_q(x_1,\dots ,x_n)$.

En följd av detta är:

$\sqrt{\frac{x_1^2+\dots +x_n^2}{n}}\ge \frac{x_1+\dots +x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1\cdot \dots \cdot x_n}\ge \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots +\frac{1}{x_n}}$