Harmoniskt medelvärde

Harmoniskt medelvärde är ett av de tre Pythagoreiska medelvärdena och används främst för att beskriva tillväxtfenomen.

Definition

Diskret fördelning

Det harmoniska medelvärdet H av de positiva reella talen x₁, x₂, ..., x_n är definierad som det inverterade värdet av det aritmetiska medelvärdet av reciprokerna till x₁, x₂, ..., x_n:

$H={(\frac{1}{n}\cdot \sum _{i=1}^n{x}_i^{-1})}^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{n}\cdot (\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n})}=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}}.$

Exempel

Det harmoniska medelvärdet av 1, 2, och 4 är

$\frac{3}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{1}{3}(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4})}=\frac{12}{7}=1.\overline{714285}$

Kontinuerlig fördelning

För en kontinuerlig fördelning är det harmoniska medelvärdet

$H=\frac{1}{\int \frac{1}{x}f(x)dx}$

Viktat harmoniskt medelvärde

Om en mängd av vikter $w_1,\dots ,w_n$ är associerad med en datamängd $x_1,\dots ,x_n$, definieras det viktade harmoniska medelvärdet som

$\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i}{\sum _{i=1}^n\frac{w_i}{x_i}}$

Det harmoniska medelvärdet kan ses som ett specialfall med vikterna = 1.

Tillämpningar

Harmoniskt medelvärde används inom andra vetenskaper som till exempel elektrofysik och geologi. Inom geologin används harmoniskt medelvärde för bestämning av vattengenomsläppigheten i olika jordarter.

Exempel

Antag att en person färdas sträckorna s₁,..., s_n med hastigheterna v₁,..., v_n. Genomsnittshastigheten v för hela resan ges av det viktade harmoniska medelvärdet

$v=\sum _{i=1}^n{s}_i{\left[\sum _{i=1}^n{s}_i{v}_i^{-1}\right]}^{-1}$

Medelhastigheten för en bil som kör en 120 km lång sträcka fram och tillbaka mellan hemmet och sommarstugan, först med hastigheten 60 km/h till sommarstugan och sedan tillbaka med hastigheten 120 km/h, är lika med det harmoniska medelvärdet 80 km/h, inte det aritmetiska medelvärdet som är 90 km/h.

Anledningen är att det tar två timmar att köra 120 km med hastigheten 60 km/h och att köra samma sträcka med hastigheten 120 km/h tar en timma. Totalt har bilen kört 240 km under 3 timmar och om vi delar 240 km med 3 timmar blir detta 80 km/h, vilket är lika med det harmoniska medelvärdet:

$v=\frac{2}{\frac{1}{60}+\frac{1}{120}}=80$

Jämförelse med andra medelvärden

Geometrisk jämförelse av medelvärden

Medelvärden av två tal, a och b, kan konstrueras geometriskt med hjälp av en halvcirkel med diametern a + b.

A: Aritmetiska medelvärdet

Q: Kvadratiska medelvärdet

H: Harmoniska medelvärdet

G: Geometriska medelvärdet

Det framgår att

${\overline{a}}_Q\ge {\overline{a}}_A\ge {\overline{a}}_G\ge {\overline{a}}_H$

Denna ordning gäller även för ett godtyckligt antal tal.