Gauss konstant

Gauss konstant är en matematisk konstant betecknad G och definierad som reciproken till det aritmetisk-geometriska medelvärdet av 1 och roten ur två,

$G=\frac{1}{\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{m}(1,\sqrt{2})}.$

Dess decimalutveckling är Mall:OEIS

0,8346268416740731862814297...

och talet ges av kedjebråket Mall:OEIS

[0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, ...].

Koppling till lemniskatan

Konstanten har fått sitt namn efter Carl Friedrich Gauss som den 30 maj 1799 upptäckte att den är lika med

$G=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$

vilket relaterar den till lemniskatan. Konstanten kan användas för att definiera lemniskatekonstanterna som används för att ange båglängden av en lemniskata. Den första konstanten ges av

$L_1=\pi G,$

den andra av

$L_2=\frac{1}{2G}.$

Övriga samband

Gauss konstant kan användas för att ange gammafunktionen av 1/4 med ett slutet uttryck,

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt{2G\sqrt{2{\pi }^3}},$

och eftersom π och Γ(1/4) är algebraiskt oberoende är Gauss konstant därmed ett transcendent tal. Gauss konstant är även lika med

$G=\frac{2}{\pi }\mathrm{B}(\frac{1}{4},\frac{1}{4})$

där Β betecknar betafunktionen. Ytterligare ett uttryck för G, i termer av thetafunktioner, är

$G={\vartheta }_4^2(e^{-\pi }).$

En snabbt konvergerande serie är

$G=\sqrt[4]{32}{e}^{-\frac{\pi }{3}}{[\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}-1^n{e}^{-2n\pi (3n+1)}]}^2.$

Några andra serier är

$G=\frac{\pi }{\sqrt{2}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})}^2\frac{1}{2^{5k}}$

$G=2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\frac{1}{(4k+1)2^{2k}}$

$G=\pi (\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{e}^{-\pi k^2}{)}^2$

$\log G=\frac{1}{2}\gamma -\frac{1}{2}\log 2+\log \pi +\frac{2}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{\log (2k+1)}{2k+1}.$

En oändlig produkt är

$G=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{\tanh }^2\left(\frac{\pi m}{2}\right).$

Några integraler är

$\frac{1}{G}=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{\sin (x)}dx=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{\cos (x)}dx$

$G=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{\cosh (\pi x)}}.$

Källor

• Mall:MathWorld
• Följder Mall:OEIS-länk och Mall:OEIS-länk i OEIS