Frenet–Serrets formler

Frenet-Serrets formler, namngivna efter de två franska matematikerna Jean Frédéric Frenet och Joseph Alfred Serret, vilka båda upptäckte formlerna oberoende av varandra, är i vektoranalys formler som beskriver de kinematiska egenskaperna hos en partikel vilken färdas längs en kontinuerlig, differentierbar kurva i ett tre-dimensionellt euklidiskt rum R³.

Naturliga koordinater

Det naturliga koordinatsystemet följer en punkt i en helix. Tangenten $\widehat{𝐭}$ representeras av den blåa pilen, normalen $\widehat{𝐧}$ av den röda och binormalen $\widehat{𝐛}$ av den svarta pilen.

Naturliga koordinater eller naturliga basen (ej att förväxla med talet e) är ett koordinatsystem som följer med en kurva i rummet, till skillnad från t.ex. ett kartesiskt koordinatsystem som är fixt i rummet. Det är i allmänhet svårt att räkna i naturliga koordinater, men dess teori ger värdefulla insikter om naturen hos en partikel som rör sig längs en kurva.

Basvektorerna är $\{\widehat{𝐭},\widehat{𝐧},\widehat{𝐛}\}$, där $\widehat{𝐭}$ är en enhetsvektor i tangentens riktning, $\widehat{𝐧}$ är en enhetsvektor i normalriktningen (riktad mot krökningscentrum och vinkelrät mot $\widehat{𝐭}$) och $\widehat{𝐛}$ en enhetsvektor i binormalriktningen så att $\{\widehat{𝐭},\widehat{𝐧},\widehat{𝐛}\}$ bildar ett högersystem av ortonormala vektorer. Om kurvan parametriseras med $s$, sträckan längs kurvan från en given startpunkt, kan $\widehat{𝐭}$ definieras enligt

$\widehat{𝐭}=\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}s}$

där $𝐫$ är en lägesvektor från en punkt fix i rummet.

Frenet-Serrets formler

Betrakta nu specialfallet att kurvan är en cirkel med radie $R$. Allteftersom partikeln rör sig ($s$ ökar) kommer $\widehat{𝐭}$ att vridas in mot cirkelns mitt (som är ett permanent krökningscentrum). Ju mindre radie, desto större ändring. Då gäller att

$\frac{\mathrm{d}\widehat{𝐭}}{\mathrm{d}s}=\frac{1}{R}\widehat{𝐧},$.

I allmänhet ändras krökningscentrum hela tiden, vilken då kan betecknas $\rho$. Krökningen definieras då som $\kappa =\frac{1}{\rho }$, så i allmänhet gäller

$\frac{\mathrm{d}\widehat{𝐭}}{\mathrm{d}s}=\kappa \widehat{𝐧},$

vilken är Frenet-Serrets första formel. De andra två formlerna är

$\frac{\mathrm{d}\widehat{𝐧}}{\mathrm{d}s}=\tau \widehat{𝐛}-\kappa \widehat{𝐭}$

och

$\frac{\mathrm{d}\widehat{𝐛}}{\mathrm{d}s}=-\tau \widehat{𝐧},$

där $\tau$ är torsionen, som kan ses som ett mått på hur mycket kurvan avviker från att hela tiden ligga i samma plan.