Plan (geometri)

Mall:Källor Inom matematiken är ett plan en flat, tvådimensionell yta med oändlig utsträckning. Plan kan förekomma som underrum till rum av godtyckliga dimensioner eller kan ha en oberoende existens som i fallet euklidisk geometri. Plangeometri är läran om geometriska figurer i ett plan.

Plan i R³

Om (x₀, y₀, z₀) är en ortsvektor till en punkt i planet och (A, B, C) är en normalvektor till planet, kan planets ekvation skrivas som skalärprodukten av en normalvektor och vektorn (x - x₀, y - y₀, z - z₀):

$(A,B,C)(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0$

vilket ger den allmänna formen av planets ekvation som

$Ax+By+Cz+D=0$

där D är

$-(A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0)$

En ekvation av första graden representerar alltid ett plan. För planets normal är riktningscosinerna (cosinus för de vinklar som normalvektorn bildar med koordinataxlarna)

$\frac{A}{\pm \sqrt{A^2+B^2+C^2)}},\frac{B}{\pm \sqrt{A^2+B^2+C^2)}},\frac{C}{\pm \sqrt{A^2+B^2+C^2)}}$

Tecknet framför roten väljs så att

$\frac{D}{\pm \sqrt{A^2+B^2+C^2)}}$ alltid är positiv. Därigenom är normalen riktad mot planets "positiva" sida.

Normalform

Genom division med

$\pm \sqrt{A^2+B^2+C^2)}$

erhålls planets ekvation på normalform

$x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma =p$

där $\alpha ,\beta ,\gamma$ är de vinklar som planets normal bildar med koordinataxlarna och p är längden av normalen från origo till planet.

Vektorform

Ekvationen för ett plan med normalvektorn n, en given punkt r₀ och med r som ortsvektor för en godtycklig punkt (x, y, z) i planet är

$(𝐫-{𝐫}_0)𝐧=0$

Se även

• Geometri

Mall:Linjär-algebra