Felfunktionen

Felfunktionens graf

Felfunktionen, erf, (också kallad Gauss felfunktion) är inom matematiken en specialfunktion (den är inte elementär) som förekommer inom sannolikhetslära, statistik och tillämpade partiella differentialekvationer. Den definieras som

$\begin{array}{cc}\mathrm{erf}(x)& =\frac{1}{\sqrt{\pi }}\underset{-x}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}dt\\ & =\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}dt.\end{array}$

Inom statistiken har felfunktionen för icke-negativa tal tolkningen: för en stokastisk variabel Y som är normalfördelad med medelvärdet 0 och variansen 1/2, beskriver erf(x) sannolikheten för Y inom intervallet [−x, x].

Egenskaper

Mall:Multiple image Egenskapen $\mathrm{erf}(-z)=-\mathrm{erf}(z)$ innebär att felfunktionen är en udda funktion. För varje komplext tal z är

$\mathrm{erf}(\bar{z})=\overline{\mathrm{erf}(z)}$

där $\bar{z}$ är det komplexa konjugatet av z.

Integranden ƒ = exp(−z²) och ƒ = erf(z) visas i det komplexa z-plane i figurerna 2 and 3. Beloppet av Im(ƒ) = 0 visas med en tjock grön linje. Negativa heltalsvärden hos Im(ƒ) visas med tjocka röda linjer. Positiva heltalsvärden av Im(f) visas med tjocka blå linjer. Mellanliggande värden Im(ƒ) = konstant visas med tunna gröna linjer. Mellanliggande värden av Re(ƒ) = konstant visas med tunna röda linjer för negativa värden och med tunna blå linjer för positiva värden.

Felfunktionen är exakt 1 vid +∞. Längs den reella axeln närmar sig erf(z) 1 när z → +∞ och −1 när z → −∞. Längs den imaginära axeln, närmar sig funktionen ±i∞.

Taylorserier

Felfunktionen är en hel funktion; den har inga singulariteter (med undantag för den vid oändligheten) och dess Taylorutveckling konvergerar alltid.

Den definierande integralen kan inte beräknas i sluten form med elementära funktioner, men genom expansion av e^−z2 i dess Maclaurinserie och integration term för term erhålls felfunktionens Maclaurinserie som

$\mathrm{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{n!(2n+1)}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}(z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}-\frac{z^7}{42}+\frac{z^9}{216}-\cdots )$

vilken gäller för varje komplext tal  z.

Den imaginära felfunktionen har en liknande Maclaurinserie:

$\mathrm{erfi}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2n+1}}{n!(2n+1)}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}(z+\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}+\frac{z^7}{42}+\frac{z^9}{216}+\cdots )$

vilken gäller för varje komplext tal z.

Derivata och integral

Felfunktionens derivata följer direkt från dess definition:

$\frac{d}{dz}\mathrm{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{e}^{-z^2}.$

En primitiv funktion till felfunktionen, erhålls genom partialintegration och är

$z\mathrm{erf}(z)+\frac{e^{-z^2}}{\sqrt{\pi }}.$

En primitiv funktion till den komplexa felfunktionen, erhålls också genom partialintegration och är

$z\mathrm{erfi}(z)-\frac{e^{z^2}}{\sqrt{\pi }}.$

Högre derivator ges av

${\mathrm{erf}}^{(k)}(z)=\frac{2(-1{)}^{k-1}}{\sqrt{\pi }}{𝐻}_{k-1}(z)e^{-z^2}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\frac{d^{k-1}}{d{z}^{k-1}}\left(e^{-z^2}\right),k=1,2,\dots$

där $𝐻$ är ett Hermitepolynom.

Externa länkar

• Mall:Commonscat