Elliott–Halberstams förmodan

Inom talteori är Elliott–Halberstams förmodan en förmodan om primtalens fördelning i aritmetiska följder. Den är uppkallad efter Peter D. T. A. Elliott och Heini Halberstam.

Låt $\pi (x)$ vara antalet primtal mindre eller lika stora som x. Om q är ett positivt heltal och a är relativt primt till q definieras $\pi (x;q,a)$ som antalet primtal mindre eller lika stora som x som är lika med a modulo q. Dirichlets sats om aritmetiska följder säger att

$\pi (x;q,a)\approx \frac{\pi (x)}{\phi (q)}$

där a och q är relativt prima och $\phi$ är Eulers fi-funktion. Om vi definierar feltermen

$E(x;q)=\underset{(a,q)=1}{\max }|\pi (x;q,a)-\frac{\pi (x)}{\phi (q)}|$

där max är över alla a relativt prima till q säger Elliott–Halberstams förmodan att för alla θ < 1 och A > 0 finns det en konstant C > 0 så att

$\sum _{1\le q\le x^{\theta }}E(x;q)\le \frac{Cx}{{\log }^{A}x}$

gäller för alla x > 2.

Förmodandet bevisades för alla θ < 1/2 av Enrico Bombieri och A. I. Vinogradov (se Bombieri–Vinogradovs sats, ibland bara "Bombieris sats"). Det är känt att förmodan inte gäller vid θ = 1.

Se även

• Barban–Davenport–Halberstams sats
• Barban–Montgomerys sats

Referenser

• Mall:Enwp

Källor

• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref