Barban–Davenport–Halberstams sats

Inom matematiken är Barban–Davenport–Halberstams sats ett resultat om primtalens fördelning i aritmetiska följder. Satsen säger följande:

Låt a vara ett heltal relativt primt till k och

$\vartheta (x;q,a)=\sum _{p\le x;p\equiv amodq}\log p$

vara analogin av Tjebysjovs funktion för aritmetiska följden a mod q. Då är

$\vartheta (x;q,a)=\frac{x}{\phi (q)}+E(x;q,a)$

där φ är Eulers fi-funktion och feltermen E är liten jämfört med x. Vi definierar summan av kvadraterna av felteremrna:

$V(x,Q)=\sum _{q\le Q}\sum _{amodq}|E(x;q,a){|}^2.$

Då gäller

$V(x,Q)=O(Qx\log x)+O(x^2(\log x{)}^{-A})$

för $1\le Q\le x$ och varje positivt A.

Denna form av satsen bevisades av Gallagher. Resultatet av Barban gäller enbart för $Q\le x(\log x{)}^{-B}$ för något B som beror på A, och resultatet av Davenport–Halberstam för B = A + 5.

Se även

• Bombieri–Vinogradovs sats
• Elliott–Halberstams förmodan

Referenser

• Mall:Enwp

Källor

• Mall:Cite book