Egenskaper hos måttintegral

Denna artikel utgör en fördjupning av artikeln om måttintegral.

Måttintegraler har några intressanta egenskaper. Låt $(X,ℱ,\mu )$ vara ett måttrum, $\int d\mu$ vara en måttintegral med avseende på måttet µ och f och g vara mätbara funktioner $X\to \overline{ℝ}$.

Grundläggande egenskaper

Måttintegraler dessa grundläggande egenskaper.

Monotonicitet: om $f\le g$ är

$\int fd\mu \le \int gd\mu$.

Linjäritet: om f och g är integrerbara är summan $af+bg$ också integrerbar och

$\int (af+bg)d\mu =a\int fd\mu +b\int gd\mu$

för alla $a,b\in ℝ$.

Triangelolikheten för integraler: absolutbeloppet av integralen är mindre än eller lika med integralen av absolutbeloppet:

$|\int fd\mu |\le \int |f|d\mu$.

Additivitet för funktioner: om $f_1,...,f_n$ är integrerbara funktioner är

$\int \sum _{k=1}^n{f}_{k}d\mu =\sum _{k=1}^n\int f_{k}d\mu$

Additivitet för mängder: om $f$ är mäbara funktionen och $A_1,...,A_n$ är parvis disjunkta mätbara mängder är

$\underset{A_1\cup \dots \cup A_n}{\int }fd\mu =\sum _{k=1}^n\underset{A_k}{\int }fd\mu$

Nollmängder

Nollmängder påverkar inte måttintegraler.

• Om $\mu (A)=0$ så är

$\underset{A}{\int }fd\mu =0$.

• Om $f=g$ µ-nästan överallt så är

$\int fd\mu =\int gd\mu$.

Konvergenssatser

Måttintegraler har många konvergenssatser. Konvergenssatser kallas de villkor som leder till

$\int \underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_{i}d\mu =\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int f_{i}d\mu$,

där $(f_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ är integrerbara funktioner för alla $i\in \mathbb{N}$, så att det finns

$\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_i$.

Med andra ord är en konvergenssats ett tillräckligt villkor för att man ska kunna byta ordning på gränsvärde och integral.

Monotona konvergenssatsen: om $0\le f_1\le f_2\le \dots$ så existerar gränsvärdet $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_i$ och

$\int \underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_{i}d\mu =\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int f_{i}d\mu$.

Dominerade konvergenssatsen: om det finns en funktion $g$ som är integrerbar så att $|f_i|\le g$ för alla $i\in \mathbb{N}$ nästan överallt och $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_i(x)$ existerar så är

$\int \underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_{i}d\mu =\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int f_{i}d\mu$.

Begränsade konvergenssatsen: om $\mu (X)<\mathrm{\infty }$ och $|f_i|\le C$ för alla $i\in \mathbb{N}$ var $C<\mathrm{\infty }$ så är

$\int \underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_{i}d\mu =\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int f_{i}d\mu .$

Fatous lemma: om $(f_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ är mätbara funktioner så gäller att

$\int \underset{i\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_{i}d\mu \le \underset{i\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\int f_{i}d\mu$

och

$\int \underset{i\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{f}_{i}d\mu \ge \underset{i\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\int f_{i}d\mu$.

Sigma-additivitet

Måttintegralen av icke-negativa funktioner är sigma-additiv över mängder. Det vill säga om $f\ge 0$ och $(A_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ är uppräknelig sekvens av parvis disjunkta mängder i $ℱ$ så är

$\underset{\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i}{\int }fd\mu =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{A_i}{\int }fd\mu .$

Detta betyder också att funktionen $A\mapsto \underset{A}{\int }f$, där $A\in ℱ$, är ett mått eftersom integralen över tomma mängden är noll.

Måttintegralen är också sigma-additiv med avseende på icke-negativa funktioner. Den här egenskapen kallas Beppo Levis sats: om $f_k\ge 0$ är uppräknelig sekvens av mätbara funktioner så är

$\int \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_{k}d\mu =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int f_{k}d\mu .$

Detta är en enkel följd av monotona konvergenssatsen, som kan appliceras på alla delsummor av de oändliga summorna.

Se även

• Måttintegral

Källor

• G.B. Folland, Real analysis: Modern techniques and their applications, Second edition, Wiley interscience, (1999)