Beppo Levis sats

Beppo Levis sats är en matematisk sats i måtteori. Den säger att måttintegralen är sigma-additiv med avseende på icke-negativa mätbara funktioner. Satsen är uppkallad efter den italienska matematikern Beppo Levi som bevisade den. Observera att det finns andra satser som kallas Levis sats.

Satsen

Låt $(X,ℱ,\mu )$ vara ett måttrum och $f_k\ge 0$ vara mätbara funktioner. Beppo Levis sats säger att

$\int \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_{k}d\mu =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int f_{k}d\mu$.

Bevis

Detta är en enkel följd av monotona konvergenssatsen, som kan appliceras på alla delsummor av de oändliga summorna:

För $n\in \mathbb{N}$, beteckna

$g_n:=\sum _{k=1}^n{f}_k$.

Eftersom $f_k\ge 0$ för alla $k=1,2,...,n$ så är $0\le g_1\le g_2\le \dots g_n$ mätbara funktioner. Därför är monotona konvergenssatsen möjlig att använda för funktionerna $g_n$. Eftersom måttintegralen är additiv så är

$\int \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_{k}d\mu =\int \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{g}_{n}d\mu \stackrel{\mathrm{M}\mathrm{K}\mathrm{S}}{=}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int g_{n}d\mu \stackrel{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}}{=}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n\int f_{k}d\mu =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int f_{k}d\mu .$

Vilket bevisar satsen.

Se även

• Egenskaper hos måttintegral