Dedekinds zetafunktion

Inom matematiken är Dedekinds zetafunktion av en algebraisk talkropp K, vanligen betecknad med ζ_K(s), en generalisering av Riemanns zetafunktion, som är specialfallet av Dedekinds zetafunktion i fallet då K är de rationella talen Q. Dedekinds zetafunktion har flera gemensamma egenskaper med Riemanns zetafunktion: den definieras som en Dirichletserie, den har en Eulerprodukt, den satisfierar en funktionalekvation, den har en analytisk fortsättning till en meromorf funktion i komplexa planet C med bara en enkel pol vid s = 1. Dess värden ger aritmetisk information om K. Den utvidgade Riemannhypotesen säger att om ζ_K(s) = 0 och 0 < Re(s) < 1 är Re(s) = 1/2.

Dedekinds zetafunktion är uppkallad efter Richard Dedekind.

Definition

Låt K vara en algebraisk talkropp. Dedekinds zetafunktion av K definieras för komplexa tal s med reell del Re(s) > 1 som Dirichletserien

${\zeta }_K(s):=\sum _{𝔞}{𝔑(𝔞)}^{-s}$

där $𝔞$ går genom alla heltalsideal av $K$ och $𝔑(𝔞)$ är deras absolutnorm. Serien ${\zeta }_K(s)$ konvergerar absolut och likformigt för $\mathrm{\Re }(s)\ge 1+\delta$ för alla $\delta >0$. Dedekinds zetafunktion kan skrivas som Eulerprodukten

${\zeta }_K(s)=\prod _{𝔭}\frac{1}{1-{𝔑(𝔭)}^{-s}}$

där $𝔭$ går över alla primideal av $K$. Zetafunktionen kan fortsättas analytiskt till $ℂ\setminus \{1\}$. I fallet K = Q reducerar sig detta till definitionen av Riemanns zetafunktion.

Referenser

• Mall:Enwp

Allmänna källor

• Mall:Citation
• Section 10.5.1 of Mall:Citation
• Mall:CitationMall:Död länk
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation