Cyklotomisk karaktär

Inom matematiken är en cyklotomisk karaktär en karaktär av en Galoisgrupp som ger Galoisverkan på en grupp av enhetsrötter. Som en endimensionell representation över en ring R är dess representationsrum i allmänhet betecknad med R(1) (det vill säga den är en representation Mall:Nowrap).

p-adiska cyklotomiska karaktärer

Om p är ett primtal och G är den absoluta Galoisgruppen av rationella talen, är den p-adiska cyklotomiska karaktären en grupphomomorfi

${\chi }_p:G\to {𝐙}_p^{\times }$

där Z_p^× är gruppen av enhetsrötter av ringen av p-adiska heltal. Denna homomorfi definieras på följande sätt. Låt ζ_n vara en primitiv pⁿ-te enhetsrot. Varje pⁿ-te enhetsrot är en potens av ζ_n unikt definierad som ett element av ringen av heltal modulo pⁿ. Primitiva rötter korresponderar till de invertibla elementen, alltså till (Z/pⁿ)^×. Ett element g av Galoisgruppen G sänder ζ_n till en annan primitiv pⁿ-te enhetsrot

$\theta ={\zeta }_n^{a_{g,n}}$

där a_g,n ∈ (Z/pⁿ)^×. För ett givet g, då n varierar, bildar elementen a_g,n ett kompatibelt system i och med att de ger ett element av inversa gränsvärdet av alla (Z/pⁿ)^×, som är Z_p^×. Därför sänder den p-adiska cyklotomiska karaktären g till systemet (a_g,n)_n, och på det viset ger information om verkan av g på alla enhetsrötter vars ordning är e potens av p.

Faktiskt är ${\chi }_p$ en kontinuerlig homomorfi (där topologin av G är Krulltopologin, och topologin av Z_p^× är p-adiska topologin).

Som ett kompatibel system av ℓ-adiska representationer

Genom att låta ℓ variera över alla primtal får man ett kompatibel system av ℓ-adiska representationer från de ℓ-adiska cyklotomiska karaktärerna (då man betraktar kompatibla system av representationer är standardterminologin att använda symbolen ℓ till att beteckna ett primtal i stället för p). I andra ord är χ = { χ_ℓ }_ℓ en "familj" av ℓ-adiska representationer

${\chi }_{\ell }:G_{𝐐}\to {\mathrm{GL}}_1({𝐙}_{\ell })$

som satisfierar flera kompatibilitetskrav mellan olika primtal. Faktiskt bildar χ_ℓ ett strikt kompatibel system av ℓ-adiska representationer.

Egenskaper

p-adiska cyklotomiska karaktären har flera goda egenskaper.

• Den är oramifierad vid alla primtal ℓ ≠ p (d.v.s. inertiadelgruppen vid ℓ har trivial verkan).
• Om Frob_ℓ är Frobeniuselementet för ℓ ≠ p, är χ_p(Frob_ℓ) = ℓ
• Den kristallin vid p.