Absolut Galoisgrupp

Inom matematiken är den absoluta Galoisgruppen G_K av en kropp K Galoisgruppen av K^sep över K, där K^sep är ett separabelt hölje av K. Alternativt är den gruppen av alla automorfier av det algebraiska höljet av K som fixerar K. Den absoluta Galoisgruppen är unik så när som på isomorfi. Den är en proändlig grupp.

Då K är en perfekt kropp, är K^sep samma som det algebraiska höljet K^alg av K. Detta gäller t.ex. för K med karakteristik noll, eller då K är en ändlig kropp.

Exempel

• Den absoluta Galoisgruppen av en algebraiskt sluten kropp är trivial.
• Den absoluta Galoisgruppen av reella talen är en cyklisk grupp av två element (komplexkonjugation och identiteten), eftersom C är det separabla höljet av R och [C:R] = 2.
• Den aboluta Galoisgruppen av en ändlig kropp K är isomorfisk till gruppen

$\widehat{𝐙}=\underleftarrow{\lim }𝐙/n𝐙.$

(För beteckningen, se inverst limes.)

Frobeniusautomorfin Fr är en kanonisk (topologisk) generator av G_K. (Frobeniusautomorfin definieras som Fr(x) = x^q för alla x i K^alg, där q är antalet element i K.)

• Den absoluta Galoishgruppen av kroppen av rationella funktioner med komplexa koefficienter är fri (som en proändlig grupp). Detta resultat bevisades av Adrien Douady och har sina rötter i Riemanns existenssats.
• Mer allmänt, låt C vara en algebraiskt sluten kropp och x en variabel. Då är den absoluta Galoisgruppen av K = C(x) fri med ranf lika med kardinaliteten av C. Detta resultat upptäcktes av David Harbater och Florian Pop, och bevisades senare även av Dan Haran och Moshe Jarden med algebraiska metoder.
• Låt K vara en ändlig utvidgning av p-adiska talen Q_p. För p ≠ 2 är dess absoluta Galoisgrupp genererad av [K:Q_p] + 3 element och har en explicit beskrivning av generatorer och relationer. Detta är ett resultat av Uwe Jannsen och Kay Wingberg. Några resultat är kända i fallet p = 2, men strukturen av Q₂ är inte känd.
• Ett annat fall då den absoluta Galoisgruppen kan bestämmas är den största totalt reella delkroppen av kroppen av algebraiska talen.

Några allmänna resultat

• Varje proändlig grupp förekommer som Galoisgruppen av någon Galoisutvidgning, men varje proändlig grupp förekommer inte som en absolut Galoisgrupp.

• Varje projektiv proändlig grupp kan ses som den absoluta Galoisgruppen av en pseudoalgebraiskt sluten kropp. Detta bevisades av Alexander Lubotzky och Lou van den Dries.

Referenser

• Mall:Enwp

Källor

• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Citation
• Mall:Neukirch et al. CNF
• Mall:Citation