Central binomialkoefficient

1
1   1
1   2   1
1   3   3   1
1   4   6   4   1
1   5  10  10   5   1
1   6  15  20  15   6   1

Centrala binomialkoefficienter i Pascals triangel.

En central binomialkoefficient är inom matematiken ett tal på formen

$A_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots (2n-1)\cdot (2n)}{(1\cdot 2\cdots n)\cdot (1\cdot 2\cdots n)}$

där n är ett heltal och $\begin{array}{c}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})\end{array}$ betecknar en binomialkoefficient. Exempelvis är

$A_3=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 3}=20.$

Heltalsföljden av centrala binomialkoefficienter för n = 0, 1, 2, ... börjar 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, ... Mall:OEIS. De centrala binomialkoefficienterna utgör den centrala kolumnen i Pascals triangel.

Alternativa representationer

En central binomialkoefficient kan skrivas med fakulteter som

$A_n=\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}$

och med en semifakultet som

$A_n=\frac{2^n(2n-1)!!}{n!}.$

De centrala binomialkoefficienterna är intimt förbundna med catalantalen C_n som ges av

$C_n=\frac{1}{n+1}{A}_n.$

Storleksuppskattning

Enligt Stirlings formel gäller

$\frac{1}{2}\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}<A_n<\sqrt{2}\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}.$

En noggrannare olikhet är

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})=\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}(1-\frac{c_n}{n})\text{ där }\frac{1}{9}<c_n<\frac{1}{8}$ för alla $n\ge 1.$

Ett gränsvärde är

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}){\left(\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\right)}^{-1}\right)=1$.

Samband mellan binomialkoefficienter

Ett stort antal samband mellan centrala binomialkoefficienter samt mellan centrala binomialkoefficienter och andra binomialkoefficienter kan härledas. Några exempel är:

$A_n=\frac{4n-2}{n}{A}_{n-1}$

$A_n=\sum _{k=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^2$

$\sum _{r=0}^n{A}_r=\sum _{i+j+k=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+j}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{j+k}{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+i}{k})$

Listan (Hubbard & Roby) innehåller fler formler av samma typ.

Talteoretiska egenskaper

Paul Erdős och Ronald Graham formulerade 1980 en förmodan att den centrala binomialkoefficienten $A_n$ aldrig är kvadratfri för n > 4. Ett fullständigt bevis gavs 1996 av A. Granville och O. Ramare.

Wolstenholmes sats kan användas för att visa att

$A_p\equiv 2mod{p}^3$

för alla primtal p > 3.

Genererande funktion

De centrala binomialkoefficienterna har den genererande funktionen

$\frac{1}{\sqrt{1-4x}}=1+2x+6x^2+20x^3+70x^4+252x^5+\cdots .$

Generalisering till komplexa tal

Gammafunktionen kan användas för att utvidga definitionen till komplexa tal z enligt

$A_z=\frac{\mathrm{\Gamma }(2z+1)}{\mathrm{\Gamma }(z+1{)}^2}$.

De centrala binomialkoefficienterna ges även av integralen

$A_z=\frac{2^{2z+1}}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{(x^2+1{)}^{z+1}}dx.$

Serier av inversa centrala binomialkoefficienter

I allmänhet är

$S(k)\equiv 2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^k{A}_n}={}_{k+1}{F}_k(\begin{array}{c}\\ \underbrace{1,\dots ,1;}\\ k+1\end{array}\frac{3}{2},\begin{array}{c}\\ \underbrace{2,\dots ,2;}\\ k-1\end{array}\frac{1}{4})$

där _pF_q betecknar en hypergeometrisk funktion. Som specialfall gäller exempelvis

$S(0)=\frac{2\pi \sqrt{3}+9}{27}$

$S(1)=\frac{\pi \sqrt{3}}{9}$

$S(2)=\frac{\zeta (2)}{3}=\frac{{\pi }^2}{18}$

$S(3)=\frac{\pi \sqrt{3}({\psi }_1(1/3)-{\psi }_1(2/3))}{18}-\frac{4\zeta (3)}{3}$

$S(4)=\frac{17}{3240}{\pi }^4$

$S(5)=\frac{1}{432}\pi \sqrt{3}({\psi }_3(\frac{1}{3})-{\psi }_3(\frac{2}{3}))-\frac{19}{3}\zeta (5)+\frac{1}{9}\zeta (3){\pi }^2$

där ζ betecknar Riemanns zetafunktion och ψ_n betecknar polygammafunktionen. Fler sådana summor ges av Weisstein.

En analogisk serie är

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}=\frac{1}{2}\cdot {}_{k+1}{F}_k(\underset{k+1}{\underbrace{1,\dots ,1}};\frac{3}{2},\underset{k-1}{\underbrace{2,\dots ,2}};\frac{-1}{4}).$

Några specialfall av den är

$\begin{array}{cccc}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}& =\frac{1}{25}(5+4\sqrt{5}\cdot \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}(2))& =& 0,37216357638560161555577\dots \\ \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}& =\frac{2}{5}\sqrt{5}\cdot \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}(2)& =& 0,430408940964\dots \\ \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}& =2{(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}(2))}^2& =& 0,463129641154\dots \\ \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^3(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}& =\frac{2}{5}\zeta (39)& =& 0,48082276126\dots \end{array}$.

Källor

• Matthew Hubbard & Tom Roby, "Identities involving the central binomial coefficients"
• Eric Weisstein, "Central Binomial Coefficient", MathWorld