Aritmetisk-geometriskt medelvärde

Det aritmetisk-geometriska medelvärdet (AGM) är ett medelvärde av två tal som fås genom att ta deras aritmetiska respektive geometriska medelvärden och i oändligheten rekursivt upprepa samma procedur med dessa. Givet två tal x och y, erhålles agm(x, y) utifrån

$a_1=x,$

$b_1=y,$

$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},$

och

$b_{n+1}=\sqrt{a_n{b}_n}.$

Sekvenserna a och b konvergerar mot ett gemensamt värde, vilket ger det aritmetisk-geometriska medelvärdet,

$\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{m}(x,y)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n$

Det aritmetisk-geometriska medelvärdet av två tal ligger alltid mellan talens geometriska och aritmetiska medelvärden. Om r > 0 gäller också att

$\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{m}(rx,ry)=r\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{m}(x,y).$

Andra egenskaper är,

$\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{m}(x,y)=\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{m}(y,x)$

$\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{m}(x,x)=x$

Det aritmetisk-geometriska medelvärdet utnyttjas bland annat av Gauss-Legendres algoritm som är ett mycket effektivt sätt att beräkna π numeriskt. Gauss konstant, G, kan också definieras som reciproken av det aritmetisk-geometriska medelvärdet av 1 och roten ur två,

$G=\frac{1}{\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{m}(1,\sqrt{2})}.$

Relationen till elliptiska integraler

Anta att $0<k<1$. Det aritmetisk-geometriska medelvärdet går att uttrycka med hjälp den fullständiga elliptiska integralen av första slaget.

$\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{m}(1,k)=\frac{\pi }{2}\frac{1}{K(k^{\prime })}$

Där $k^{\prime }=\sqrt{1-k^2}$.

Det går att visa att k även kan vara mer än 1. När man räknar ut Gauss konstant stoppar man i formeln ovan så att $k=\sqrt{2},(k^{\prime }=\sqrt{-1})$.

$K(\sqrt{-1})=\frac{\pi }{2\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{m}(\sqrt{2},1)}$

Det går att på detta sätt visa att det aritmetisk-geometriska medelvärdet i väsentligt är detsamma som den fullständiga elliptiska integralen av första slaget. Genom detta kan man härleda flera egenskaper av den elliptiska integralen av första slaget.

Källor

• Mall:Bokref