Arcus sinus hyperbolicus

Kurvan y = arcsinh(x).

Arcus sinus hyperbolicus är inversen till den hyperboliska funktionen sinus hyperbolicus. Funktionen betecknas vanligen "arcsinh" (eller "arsinh", eller "sinh⁻¹"), och ett explicit uttryck för funktionsvärdet är

$\mathrm{arcsinh}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1}).$

Här anger suffixet "-h" att det är en hyperbolisk och inte en trigonometrisk funktion. Prefixet "arc-" antyder att det rör sig om en invers hyperbolisk funktion. Prefixet kommer från den motsvarande inversa trigonometriska funktionen arcsin, där "arc-" står för båglängd. I det hyperboliska fallet saknas emellertid tolkningen att $\arcsin x$ står för en båglängd. Däremot kan funktionsvärdet tolkas som en viss area; därför förespråkas ibland beteckningen "arsinh" (där "ar" står för "area") i stället för "arcsinh". Även beteckningen ${\sinh }^{-1}$ förekommer; en upphöjd minusetta betecknar ju i allmänhet en funktionsinvers.

Explicit uttryck

För att ta fram ett explicit uttryck för $\mathrm{arcsinh}x$ börjar man med att välja något $y\in V_{\sinh }$ (där $V_{\sinh }$ är värdemängden till sinh). Det finns då ett $x\in D_{\sinh }$ (där $D_{\sinh }$ är definitionsmängden till sinh) sådant att

$y=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

(där vi använde definitionen av sinus hyperbolicus). Med $t:=e^x$ fås

$y=\frac{t-t^{-1}}{2}\Rightarrow 2y=t-t^{-1}\Rightarrow 2yt=t^2-1$

$\Rightarrow t^2-2yt-1=0\Rightarrow (t-y{)}^2-y^2-1=0$

$\Rightarrow (t-y{)}^2=y^2+1\Rightarrow t-y=\sqrt{y^2+1}$

$\Rightarrow t=y+\sqrt{y^2+1}.$

Här använde vi att $\sqrt{(t-y{)}^2}=|t-y|=t-y$ ty

$t-y=e^x-\sinh x=\cosh x\ge 0$.

Med tanke på att $t=e^x$ har vi därför

$e^x=y+\sqrt{y^2+1}$

d.v.s.

$x=\ln (y+\sqrt{y^2+1})$.

Alltså är

$\mathrm{arcsinh}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1}).$

Derivata

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsinh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}},\mathrm{\forall }x\in ℝ.$

Bevis:

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsinh}x=\frac{d}{dx}\ln (x+\sqrt{x^2+1})=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot (1+\frac{1}{2}(x^2+1{)}^{-1/2}\cdot 2x)=$

$=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}.$

Integral

Den primitiva funktionen till arcsinh är

$\underset{}{\overset{}{\int }}\mathrm{arcsinh}xdx=x\mathrm{arcsinh}x-\sqrt{x^2+1}+C.$

Bevis:

Partiell integration av en inskjuten etta ger

$\underset{}{\overset{}{\int }}\mathrm{arcsinh}xdx=\underset{}{\overset{}{\int }}\ln (x+\sqrt{x^2+1})dx=x\ln (x+\sqrt{x^2+1})-\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx=$

$=x\ln (x+\sqrt{x^2+1})-\sqrt{x^2+1}+C=x\mathrm{arcsinh}x-\sqrt{x^2+1}+C.$

Referenser

• De hyperboliska funktionerna, Rejbrand, Andreas