Hyperbolisk funktion

Sinh (röd), cosh (grön) och tanh (blå).

Koppling mellan hyperbler och de hyperboliska funktionerna. Varje punkt på högra delen av hyperbeln har koordinaten (cosh a, sinh a) där a är dubbla rödmarkerade arean i figuren.

Inom matematiken är de hyperboliska funktionerna nära besläktade med de trigonometriska funktionerna, vilket antyds av deras benämningar:

• sinus hyperbolicus (sinh)
• cosinus hyperbolicus (cosh)
• tangens hyperbolicus (tanh)
• secans hyperbolicus (sech)
• cosecans hyperbolicus (csch)
• cotangens hyperbolicus (coth)

sech och csch används sällan.

Definition

De hyperboliska funktionernas definitioner är

• $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
• $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
• $\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
• $\mathrm{sech}(x)=\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}$
• $\mathrm{csch}(x)=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}$
• $\coth x=\frac{1}{\tanh x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$

Vid jämförelse med Eulers formler, framgår att enligt definitionerna av cosh och cos är skillnaden att vinkeln är multiplicerad med komplexa enheten i; motsvarande gäller för sin och sinh:

• $\cosh (x)=\cos (ix),\cosh (ix)=\cos (x)$
• $\sinh (x)=-i\sin (ix),\sinh (ix)=i\sin (x)$

och därmed kan de trigonometriska funktionerna – ur ett analytiskt perspektiv – betraktas som utvidgningar av de hyperboliska funktionerna till det komplexa talplanet. Ur ett geometriskt perspektiv är dock de trigonometriska funktionerna mer grundläggande och man kan då – ur denna synvinkel – betrakta de hyperboliska funktionerna som utvidgningar till det komplexa talplanet av trigonometriska funktioner.

Taylorserie

Utveckling av sinh och cosh i en taylorserie kan göras med hjälp av serieutvecklingar av exponentialfunktionen:

$\sinh (x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\cosh (x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2k}}{(2k)!}$

Identiteter

Motsvarigheten till trigonometriska ettan, kallad hyperboliska ettan:

${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$

sinh är udda, cosh är jämn:

$\cosh (-x)=\cosh x$

$\sinh (-x)=-\sinh x$

Summor:

$\sinh (x+y)=\sinh (x)\cdot \cosh (y)+\cosh (x)\cdot \sinh (y)$

$\sinh (x-y)=\sinh (x)\cdot \cosh (y)-\cosh (x)\cdot \sinh (y)$

$\cosh (x+y)=\cosh (x)\cdot \cosh (y)+\sinh (x)\cdot \sinh (y)$

$\cosh (x-y)=\cosh (x)\cdot \cosh (y)-\sinh (x)\cdot \sinh (y)$

Inversa funktioner

Mall:Huvudartikel Mall:Huvudartikel De hyperboliska funktionernas inverser benämns area hyperbolicus eller arcus hyperbolicus. Dock kan varje sådan invers-funktion skrivas med hjälp av logaritmer:

• $\mathrm{arcsinh}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$
• $\mathrm{arccosh}x=\ln (x+\sqrt{x^2-1})$
• $\mathrm{arctanh}x=\frac{1}{2}\cdot \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$

Speciellt gäller att arcsinh är entydigt definierad för hela ℝ till skillnad från inverserna av de trigonometriska funktionerna där man undviker flertydighet genom att införa begreppet principalvärde.

Derivator

$\frac{d}{dx}\sinh (x)=\cosh (x)$

$\frac{d}{dx}\cosh (x)=\sinh (x)$

$\frac{d}{dx}\tanh (x)=1-{\tanh }^2(x)$

$\frac{d}{dx}\coth (x)=1-{\coth }^2(x)$

$\frac{d}{dx}\text{csch(x)}=-\coth (x)\text{csch(x)}$

$\frac{d}{dx}\text{sech(x)}=-\tanh (x)\text{sech(x)}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsinh}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arccosh}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arctanh}(x)=\frac{1}{1-x^2}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arccsch}(x)=-\frac{1}{\left|x\right|\sqrt{1+x^2}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsech}(x)=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arccoth}(x)=\frac{1}{1-x^2}$

Se även

• Trigonometrisk funktion
• Derivata
• Tabell över matematiska symboler

Externa länkar

• Mall:Commonscat
• GonioLab: Visualisering av enhetscirkeln, trigonometriska och hyperboliska funktioner (Java Web Start)