Invers funktion

Invers funktion eller bara invers (av ”invertera” och av latinets invertere ”omvända”) är inom matematiken namnet på en funktion som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen $f^{-1}:Y\to X$ till en funktion $f$ är sådan att $f^{-1}(f(x))=x$ för alla $x\in X$ och $f(f^{-1}(y))=y$ för alla $y\in Y$.

En funktion f har en invers funktion om och endast om f är bijektiv.

Inverterbar funktion

En funktion $f$ är inverterbar om och endast om den är bijektiv, det vill säga

1. $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$ för alla $x_1,x_2$ i funktionens definitionsmängd – funktionsvärdena i två punkter ur funktionens definitionsmängd, kan endast vara desamma om punkterna också är desamma (injektivitet).
2. Det finns något $x$ sådant att $f(x)=y$ för alla $y$ i målmängden till $f$ – funktionens värdemängd är densamma som dess målmängd (surjektivitet).

En funktion som inte är surjektiv kan göras surjektiv genom att begränsa målmängden till värdemängden.

Exempel

• Funktionerna $f(x)=2x$ och $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$ är varandras inverser.

• Exponentialfunktionen $x\mapsto a^x$ med basen a > 0 och de positiva reella talen som målmängd är invers till logaritmfunktionen

$y\mapsto {\log }_{a}y,y>0$.

Källor

• R. Creighton Buck, Advanced Calculus, McGraw-Hill Book Company, New York 1956.
• Mall:Bokref

Se även

• Inverst element
• Inverterbar matris
• Reciprok (matematik)