4294967295-hörning

Lista över alla de 31 (= 2⁵ - 1) kända geometriskt konstruerbara regelbundna polygonerna med udda antal hörn i rött (och därutöver de med jämna antal under 1000 i svart).

En regelbunden 4 294 967 295-hörning (2³² - 1) är den polygon som har det största kända udda antalet hörn (eller sidor) som är konstruerbar med passare och rätskiva. Talet 4 294 967 295 är nämligen produkten av alla de fem kända Fermatprimtalen F₀ = 3, F₁ = 5, F₂ = 17, F₃ = 257 och F₄ = 65 537.Mall:Anmärkning

Eftersom Gauss visade att det endast är regelbundna polygoner med antal hörn som är produkter av olika fermatprimtal och/eller heltalspotenser av två som är geometriskt konstruerbara är produkten av de fem kända udda Fermatprimtalen verkligen det största antalet udda hörn som en konstruerbar regelbunden polygon, såvitt känt, kan ha. Det sjätte Fermattalet F₅ = 2³²+1 = 4 294 967 297 är inte ett primtal, eftersom 641 · 6 700 417 = 4 294 967 297. Likaså är F_n ett sammansatt tal för $n=6,7,\dots ,32$, och det finns en förmodan om att detta också gäller alla större värden på n.

Konstruktionen av en 4 294 967 295-hörning är enkel i teorin, men såklart helt ogenomförbar i praktiken. Man börjar med en cirkel och konstruerar en inskriven liksidig triangel. Man konstruerar sedan regelbundna inskrivna femhörningar utgående från de tre triangelhörnen (se pentagon för en beskrivning av förfarandet)Mall:Anmärkning och erhåller härvid en regelbunden femtonhörning (vars hörn är de fem hörnen i vardera av de tre femhörningarna). Utgående från dessa femton hörn konstruerar men femton sjuttonhörningar och får därvid en regelbunden 255-hörning från de femton sjuttonhörningarnas hörn. Från de 255 hörnen konstruerar man 255 stycken 257-hörningar, vilket ger en regelbunden 65 535-hörning och utgående från dess 65 535 hörn konstruerar men sedan 65 537-hörningar så att man får en Mall:Nowrap.

Om en regelbunden 4 294 967 295-hörning skulle skapas med ekvatorn som omskriven cirkel skulle varje sida ha längden:

$s\approx \frac{12756,32\cdot \pi \text{km}}{4294967295}\approx 9,3\text{mm}$

Externa länkar

• Talföljd A045544 på OEIS.