Eulers formel

Se Eulers formel (geometri) för det resultat gällande konvexa polyedrar som även kallas "Eulers formel"

Se Eulers triangelformel för sambandet mellan de in- respektive omskrivna ciklarnas (till en triangel) radier och avståndet mellan deras medelpunkter

Eulers formel på enhetscirkeln i det komplexa talplanet.

Eulers formel inom komplex analys kopplar samman exponentialfunktionen och de trigonometriska funktionerna. Resultatet är namngivet efter Leonhard Euler.

${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }=\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta$

En enkel konsekvens av Eulers formel är Eulers identitet

${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }+1=0$

som förbluffat matematikstuderande genom tiderna. Formeln relaterar fyra tal från helt olika delar av matematiken: talet $e$ från analysen, talet $\pi$ från geometrin, den imaginära enheten, $i$, från de komplexa talen och talet 1 från aritmetiken.

Formeln kan härledas ur taylorutvecklingen av $e^z$ genom att sätta $z=i\theta$. Det finns även en omvänd variant som kallas Eulers formler, vilka istället uttrycker de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus med hjälp av exponentialfunktionen:

$\sin \theta =\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }}{2i}$

$\cos \theta =\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }}{2}$

Bevis av Eulers formel

Mall:Källor Taylorserien för den reella exponentialfunktionen $e^x$ kan skrivas

${\mathrm{e}}^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

Detta motiverar definitionen av den komplexa exponentialfunktionen enligt

${\mathrm{e}}^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots$

Funktionerna $e^x$, $\cos (x)$ och $\sin (x)$ (där $x$ är ett reellt tal) kan taylorutvecklas runt noll, vilket ger serierna

$\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^x& =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \\ \cos x& =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots \\ \sin x& =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots \end{array}$

För komplexa tal $z$, definieras var och en av dessa funktioner av respektive serie genom att $x$ ersätts med $z$ (där $x$ är ett reellt och $z$ är ett komplext tal). Detta är tillåtet om högerleden existerar för alla $z$, vilket är fallet då konvergensradierna är oändliga. De tre serierna är absolutkonvergenta för alla $z$. Då gäller:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{iz}& =1+\mathrm{i}z+\frac{(\mathrm{i}z{)}^2}{2!}+\frac{(\mathrm{i}z{)}^3}{3!}+\frac{(\mathrm{i}z{)}^4}{4!}+\frac{(\mathrm{i}z{)}^5}{5!}+\frac{(\mathrm{i}z{)}^6}{6!}+\frac{(\mathrm{i}z{)}^7}{7!}+\frac{(\mathrm{i}z{)}^8}{8!}+\cdots \\ & =1+\mathrm{i}z-\frac{z^2}{2!}-\frac{\mathrm{i}{z}^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{\mathrm{i}{z}^5}{5!}-\frac{z^6}{6!}-\frac{\mathrm{i}{z}^7}{7!}+\frac{z^8}{8!}+\cdots \\ & =(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\frac{z^8}{8!}-\cdots )+\mathrm{i}(z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\cdots )\\ & =\cos z+\mathrm{i}\sin z\end{array}$

Notera att om $z$ sätts till ett reellt tal $x$ så erhålls Eulers formel på den vanliga formen:

${\mathrm{e}}^{ix}=\cos x+\mathrm{i}\sin x$

Se även

• Komplexa tal
• Eulers identitet
• Eulers sats

Externa länkar

• Mall:Commonscat