Weierstrass elliptiska funktion

Inom matematiken är Weierstrass elliptiska funktion en elliptisk funktion uppkallad efter Karl Weierstrass. Funktionen betecknas vanligen med $\mathrm{\wp }$.

Symbolen för Weierstrass $\mathrm{\wp }$-funktion

Modell av Weierstrass $\mathrm{\wp }$-funktion

Definition

Weierstrass P-funktion definierad över en delmängd av det komplexa planet. Vit motsvarar en pol, svart ett nollställe och maximal färgmättnad betyder att $|f(z)|=|f(x+iy)|=1.$

Weierstrass elliptiska funktion kan definieras på tre nära relaterade sätt. Den första definitionen är som en funktion av en komplex variabel z och ett gitter Λ i övre planhalvan. En annan definition är med hjälp av z och två komplexa tal ω₁ och ω₂ som genererar och utgör ett periodpar för gittret. Den tredje definitionen är med hjälp av z och ett komplext tal τ i övre planhalvan. Den här är relaterad till den förra definitionen enligt τ = ω₂/ω₁. Då bildar Weierstrass funktion för fixerat z en modulär funktion av τ.

Med hjälp av perioderna är Weierstrass elliptiska funktion en elliptisk funktion med perioder ω₁ och ω₂ definierad som

$\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)=\frac{1}{z^2}+\sum _{n^2+m^2\ne 0}\{\frac{1}{(z+m{\omega }_1+n{\omega }_2{)}^2}-\frac{1}{{(m{\omega }_1+n{\omega }_2)}^2}\}.$

Då är $\mathrm{\Lambda }=\{m{\omega }_1+n{\omega }_2:m,n\in \mathbb{Z}\}$ punkterna vid periodgittret, så att

$\mathrm{\wp }(z;\mathrm{\Lambda })=\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)$

för ett godtyckligt par av generatorer av gittret definierar Weierstrass $\mathrm{\wp }$-funktion en funktion av en komplex variabel och ett gitter.

Om $\tau$ är ett komplext tal i övre planhalvan är

$\mathrm{\wp }(z;\tau )=\mathrm{\wp }(z;1,\tau )=\frac{1}{z^2}+\sum _{n^2+m^2\ne 0}\{\frac{1}{(z+m+n\tau {)}^2}-\frac{1}{(m+n\tau {)}^2}\}.$

Summan ovan är homogen av grad minus två, från vilket vi kan definiera $\mathrm{\wp }$-funktion för ett godtyckligt periodpar som

$\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)=\frac{\mathrm{\wp }(\frac{z}{{\omega }_1};\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1})}{{\omega }_1^2}.$

Weierstrass $\mathrm{\wp }$-funktion kan beräknas väldigt snabbt med hjälp av thetafunktioner enligt formeln

$\mathrm{\wp }(z;\tau )={\pi }^2{\vartheta }^2(0;\tau ){\vartheta }_{10}^2(0;\tau )\frac{{\vartheta }_{01}^2(z;\tau )}{{\vartheta }_{11}^2(z;\tau )}-\frac{{\pi }^2}{3}[{\vartheta }^4(0;\tau )+{\vartheta }_{10}^4(0;\tau )]$

Invarianterna

Reella delen av invarianten g₃ som en funktion av q i enhetsdisken.

Imaginära delen av invarianten g₃ som en funktion av q i enhetsdisken.

I en omgivning av origo är Laurentserien av $\mathrm{\wp }$

$\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)=z^{-2}+\frac{1}{20}{g}_2{z}^2+\frac{1}{28}{g}_3{z}^4+O(z^6)$

där

$g_2=60\sum _{(m,n)\ne (0,0)}(m{\omega }_1+n{\omega }_2{)}^{-4}$

$g_3=140\sum _{(m,n)\ne (0,0)}(m{\omega }_1+n{\omega }_2{)}^{-6}.$

Talen g₂ och g₃ är kända som invarianterna. Summorna efter koefficienterna 60 och 140 är de två första Eisensteinserierna, som är modulära former då de betraktas som funktioner G₄(τ) respektive G₆(τ)) av τ = ω₂/ω₁ med Im(τ) > 0.

Notera att g₂ och g₃ är homogena funktioner av grader −4 och −6; i andra ord,

$g_2(\lambda {\omega }_1,\lambda {\omega }_2)={\lambda }^{-4}{g}_2({\omega }_1,{\omega }_2)$

$g_3(\lambda {\omega }_1,\lambda {\omega }_2)={\lambda }^{-6}{g}_3({\omega }_1,{\omega }_2).$

Därför skrivs vanligen $g_2$ och $g_3$ med hjälp av periodkvotet $\tau ={\omega }_2/{\omega }_1$ där $\tau$ antas vara i övre planhalvan som $g_2(\tau )=g_2(1,{\omega }_2/{\omega }_1)$ och $g_3(\tau )=g_3(1,{\omega }_2/{\omega }_1)$.

Fourierserien av $g_2$ and $g_3$ kan skrivas med hjälp av variabeln $q=\exp (i\pi \tau )$ som

$g_2(\tau )=\frac{4{\pi }^4}{3}[1+240\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_3(k)q^{2k}]$

$g_3(\tau )=\frac{8{\pi }^6}{27}[1-504\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_5(k)q^{2k}]$

där ${\sigma }_a(k)$ är sigmafunktionen. Denna formel kan skrivas med hjälp av Lambertserier.

Invarianterna kan skrivas med hjälp av Jacobis thetafunktioner. Denna metod är väldigt användbar för numeriska räkningar emedan thetafunktionernas serier konvergerar väldigt snabbt. I beteckningen av Abramowitz och Stegun, men genom att beteckna de primitiva halvperioderna med ${\omega }_1,{\omega }_2$, satisfierar invarianterna

$g_2({\omega }_1,{\omega }_2)=\frac{{\pi }^4}{12{\omega }_1^4}(a^8-a^4{b}^4+b^8)=\frac{{\pi }^4}{6{\omega }_1^4}(a^8+b^8+c^8)$

$g_3({\omega }_1,{\omega }_2)=\frac{{\pi }^6}{(\sqrt{6}{\omega }_1{)}^6}(a^{12}-33a^8{b}^4-33a^4{b}^8+b^{12})$

där

$a={\theta }_2(0;q)={\vartheta }_{10}(0;\tau )$

$b={\theta }_3(0;q)={\vartheta }_{00}(0;\tau )$

$c={\theta }_4(0;q)={\vartheta }_{01}(0;\tau )$

och $\tau ={\omega }_2/{\omega }_1$ är periodkvotet, $q=e^{\pi i\tau }$ och ${\theta }_m$ och ${\vartheta }_n$ är alternativa beteckningar.

Differentialekvation

Weierstrass funktion satisfierar differentialekvationen

$[{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z){]}^2=4[\mathrm{\wp }(z){]}^3-g_2\mathrm{\wp }(z)-g_3.$

Integralekvation

Weierstrass elliptiska funktion kan ges som inversen av en elliptisk integral. Låt

$u=\underset{y}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{ds}{\sqrt{4s^3-g_{2}s-g_3}}.$

där g₂ och g₃ ses som konstanter. Då är

$y=\mathrm{\wp }(u).$

Detta följer direkt genom att integrera differentialekvationen.

Konstanterna e₁, e₂ och e₃

Betrakta tredjegradsekvationen 4t³ − g₂t − g₃ = 0 med rötterna e₁, e₂ och e₃. Dess diskriminant är 16 gånger den modulära diskriminanten Δ = g₂³ − 27g₃². Om den inte är noll är alla dessa rötter skilda. Eftersom den kvadratiska termen av detta kubiska polynom är noll är rötterna relaterade enligt ekvationen

$e_1+e_2+e_3=0.$

De linjära och konstanta koefficienterna (g₂ och g₃) är relatrede till rötterna enligt ekvationerna (se elementära symmetriska polynom).

$g_2=-4(e_1{e}_2+e_1{e}_3+e_2{e}_3)=2(e_1^2+e_2^2+e_3^2)$

$g_3=4e_1{e}_2{e}_3.$

Rötterna e₁, e₂ och e₃ av ekvationen $4X^3-g_{2}X-g_3$ beror på τ och kan skrivas med hjälp av Jacobis thetafunktioner.Som tidigare, låt

$a={\theta }_2(0;e^{\pi i\tau })={\vartheta }_{10}(0;\tau )$

$b={\theta }_3(0;e^{\pi i\tau })={\vartheta }_{00}(0;\tau )$

$c={\theta }_4(0;e^{\pi i\tau })={\vartheta }_{01}(0;\tau ),$

då är

$e_1(\tau )=\frac{1}{3}{\pi }^2(b^4+c^4)$

$e_2(\tau )=\frac{1}{3}{\pi }^2(-a^4-b^4)$

$e_3(\tau )=\frac{1}{3}{\pi }^2(a^4-c^4).$

Eftersom $g_2=2(e_1^2+e_2^2+e_3^2)$ och $g_3=4e_1{e}_2{e}_3$ kan även dessa skrivas med hjälp av thetafunktioner. I förenklad form är

$g_2(\tau )=\frac{2}{3}{\pi }^4(a^8+b^8+c^8)$

$g_3(\tau )=\frac{4}{27}{\pi }^6\sqrt{\frac{(a^8+b^8+c^8{)}^3-54(abc{)}^8}{2}}$

$\mathrm{\Delta }=g_2^3-27g_3^2=(2\pi {)}^{12}{\left(\frac{1}{2}abc\right)}^8.$

I fallet av reella invarianter bestämmer tecknet av Δ = g₂³ − 27g₃² naturen av rötterna. Om $\mathrm{\Delta }>0$ är alla tre rötterna reella och det är konventionellt att namge dem så att $e_1>e_2>e_3$. Om $\mathrm{\Delta }<0$ är det konventionellt att skriva $e_1=-\alpha +\beta i$ (där $\alpha \ge 0$, $\beta >0$), av vilket $e_3=\overline{e_1}$ följer, och $e_2$ är rellt och icke-negativt.

Halvperioderna ω₁/2 and ω₂/2 av Weierstrass elliptiska funktion är relaterade till rötterna enligt

$\mathrm{\wp }({\omega }_1/2)=e_1\mathrm{\wp }({\omega }_2/2)=e_2\mathrm{\wp }({\omega }_3/2)=e_3$

där ${\omega }_3=-({\omega }_1+{\omega }_2)$. Eftersom kvadraten av derivatan av Weierstrass elliptiska funktion är lika med den kubiska funktionen ovan av funktionens värde är ${\mathrm{\wp }}^{\prime }({\omega }_i/2{)}^2={\mathrm{\wp }}^{\prime }({\omega }_i/2)=0$ för $i=1,2,3$. Om igen funktionens värde är lika med en rot av polynomet är derivatan lika med noll.

Om g₂ och g₃ är reella och Δ > 0 är e_i alla reella, och $\mathrm{\wp }()$ är rell vid randen av rektangeln med hörnen 0, ω₃, ω₁ + ω₃ och ω₁. Om rötterna ordnas såsom ovan (e₁ > e₂ > e₃) är första halvperioden reell:

${\omega }_1/2=\underset{e_1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dz}{\sqrt{4z^3-g_{2}z-g_3}}$

emedan den tredje halvperioden är rent imginär:

${\omega }_3/2=i\underset{-e_3}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dz}{\sqrt{4z^3-g_{2}z-g_3}}.$

Additionformler

Weierstrass elliptiska funktion satisfierar flera intressanta identiteter:

$\det \left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\wp }(z)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)& 1\\ \mathrm{\wp }(y)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(y)& 1\\ \mathrm{\wp }(z+y)& -{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z+y)& 1\end{array}\right]=0$

(en symmetrik version är

$\det \left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\wp }(u)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(u)& 1\\ \mathrm{\wp }(v)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(v)& 1\\ \mathrm{\wp }(w)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(w)& 1\end{array}\right]=0$

där u + v + w = 0).

Den satisfierar även

$\mathrm{\wp }(z+y)=\frac{1}{4}{\left\{\frac{{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)-{\mathrm{\wp }}^{\prime }(y)}{\mathrm{\wp }(z)-\mathrm{\wp }(y)}\right\}}^2-\mathrm{\wp }(z)-\mathrm{\wp }(y)$

och

$\mathrm{\wp }(2z)=\frac{1}{4}{\left\{\frac{{\mathrm{\wp }}^{″}(z)}{{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)}\right\}}^2-2\mathrm{\wp }(z)$

bara 2z inte är en period.

Referenser

Källor

• Mall:Enwp
• Mall:AS ref
• N. I. Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island Mall:ISBN
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York Mall:ISBN (See chapter 1.)
• K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag Mall:ISBN
• Konrad Knopp, Funktionentheorie II (1947), Dover; Republished in English translation as Theory of Functions (1996), Dover Mall:ISBN
• Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, Mall:ISBN
• Mall:Dlmf
• E.T. Whittaker och G.N. Watson, A course of modern analysis, Cambridge University Press, 1952, chapters 20 and 21

Externa länkar

• Mall:Commonscat
• Mall:Springer
• Weierstrass elliptiska funktion på MathWorld Mall:En ikon
• Elliptiska funktioner, Hans Lundmarks sida för komplex analys Mall:En ikon