Liouvilles lambda-funktion

Liouvilles λ-funktion, betecknad λ(n) och namngiven efter Joseph Liouville, är en viktig aritmetisk funktion inom talteorin.

Om n är ett positivt heltal definieras λ(n) som:

λ(n) = (-1)^Ω(n),

där Ω(n) är antalet primfaktorer till n räknade med multiplicitet.

λ är komplett multiplikativ eftersom Ω(n) är komplett additiv. Vi har att Ω(1)=0 och därför att λ(1)=1. Liouville-funktionen satisfierar följande likhet:

$\sum _{d|n}\lambda (d)=\{\begin{array}{cc}1& \text{om }n\text{ n är en kvadrat}\\ 0& \text{annars.}\end{array}$

Genererande funktioner

Dirichletserien vars koeficcienter är λ(n) ges av

$\frac{\zeta (2s)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)}{n^s}$

där ζ(s) är Riemanns zetafunktion.

Lambertserien vars koeficcienter är λ(n) ges av

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)q^n}{1-q^n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}=\frac{1}{2}({\vartheta }_3(q)-1)$

där ${\vartheta }_3(q)$ är Jacobis thetafunktion.

Se även

• Pólyas förmodan