Gegenbauerpolynom

Inom matematiken är Gegenbauerpolynomen eller ultrasfäriska polynomen CMall:Su(x) en serie ortogonala polynom. De generaliserar Legendrepolynomen och Tjebysjovpolynomen, och är specialfall av Jacobipolynomen. De är uppkallade efter Leopold Gegenbauer.

Karakteriseringar

Det finns ett flertal karakteriseringar av Gegenbauerpolynomen.

\frac{1}{(1 - 2 x t + t^{2})^{α}} = \sum_{n = 0}^{\infty} C_{n}^{(α)} (x) t^{n} .

\begin{matrix} C_{0}^{α} (x) & = 1 \\ C_{1}^{α} (x) & = 2 α x \\ C_{n}^{α} (x) & = \frac{1}{n} [2 x (n + α - 1) C_{n - 1}^{α} (x) - (n + 2 α - 2) C_{n - 2}^{α} (x)] . \end{matrix}

(1 - x^{2}) y^{″} - (2 α + 1) x y^{'} + n (n + 2 α) y = 0 .

Då α = 1/2 reducerar sig ekvationen till Legendres ekvation, och Gegenbauerpolynomen reducerar sig till Legendrepolynomen.

C_{n}^{(α)} (z) = \frac{(2 α)_{n}}{n!}_{2} F_{1} (- n, 2 α + n; α + \frac{1}{2}; \frac{1 - z}{2}) .

Utskrivet lyder formeln

C_{n}^{(α)} (z) = \sum_{k = 0}^{⌊ n / 2 ⌋} (- 1)^{k} \frac{Γ (n - k + α)}{Γ (α) k! (n - 2 k)!} (2 z)^{n - 2 k} .

C_{n}^{(α)} (x) = \frac{(2 α)_{n}}{(α + \frac{1}{2})_{n}} P_{n}^{(α - 1 / 2, α - 1 / 2)} (x) .

där

(θ)_{n}

Av det följer Rodrigues formel:

C_{n}^{(α)} (x) = \frac{(- 2)^{n}}{n!} \frac{Γ (n + α) Γ (n + 2 α)}{Γ (α) Γ (2 n + 2 α)} (1 - x^{2})^{- α + 1 / 2} \frac{d^{n}}{d x^{n}} [(1 - x^{2})^{n + α - 1 / 2}] .

Askey–Gaspers olikhet för Gegenbauerpolynomen är

\sum_{j = 0}^{n} \frac{C_{j}^{α} (x)}{(\binom{2 α + j - 1}{j})} \geq 0 (x \geq - 1, α \geq 1 / 4) .