Symmetrisk matris

En symmetrisk matris med fem rader och fem kolonner.

En symmetrisk matris är inom linjär algebra, en matris sådan att den är identisk med sitt transponat:

$A\text{ är symmetrisk }⟺A=A^T$

Om matrisen har elementen a_ij är a_ij = a_ji för en symmetrisk matris. Man kan också uttrycka detta som att rad k i en symmetrisk matris har samma element, i samma ordning, som kolonn k.

Exempel

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 5\\ 3& 5& 6\end{array}\right)$

M är symmetrisk, eftersom M^T = M.

A nedan är dock inte symmetrisk, vilket man kan se genom att jämföra elementen i A med elementen i A:s transponat, A^T:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 3& 4& 5\\ 3& 1& 6\end{array}\right),A^T=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 3\\ 2& 4& 1\\ 2& 5& 6\end{array}\right),A\ne A^T.$

Egenskaper

Symmetriska matriser har alltid en ortonormerad bas av egenvektorer, enligt spektralsatsen, vilket innebär att om A är symmetrisk kan A diagonaliseras med en ortogonalmatris, det vill säga, det finns en diagonalmatris D och en ortogonalmatris T sådan att

$A=TD{T}^T$.

där elementen i D:s diagonal är A:s egenvärden.

Om A är en reell matris så är matrisen A^TA symmetrisk, om matrismultiplikationen är tillåten. Detta kan visas med hjälp av räknereglerna för transponat:

$(A^{T}A{)}^T=(A{)}^T(A^T{)}^T=A^{T}A$

Symmetrisk avbildning

En symmetrisk linjär avbildning är en avbildning $F$ sådan att

$𝐮\cdot F(𝐯)=𝐯\cdot F(𝐮)$

för alla reella vektorer u och v. I en ortonormerad bas motsvarar en symmetrisk avbildning en symmetrisk matris på ett entydigt sätt. För att bevisa detta noteras att skalärprodukten i en sådan bas kan skrivas på matrisformen

$𝐮\cdot 𝐯=u^{T}v,$

där u och v är kolonnmatriser. Om avbildningen $F$ representeras av matrisen $A$ i den givna basen kan definitionen skrivas som

$u^{T}Av=v^{T}Au.$

Om $A=A^T$ blir transponatet av vänsterledet lika med högerledet. Eftersom vänsterledet är en 1x1-matris är den lika med sitt transponat, så $F$ är symmetrisk. Om man utgår från att $F$ är symmetrisk får man på samma sätt att

$v^{T}Au=v^T{A}^T{u}^{\prime }$

och om detta ska gälla för alla u och v måste

$A=A^T.$

Se även

• Hermitesk matris
• Normal matris

Mall:Linjär-algebra