Mittag-Leffler-funktionen

Inom matematiken är Mittag-Leffler-funktionen är en speciell funktion uppkallad efter den svenske matematikern Gösta Mittag-Leffler. Den definieras som serien

$E_{\alpha ,\beta }(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{\mathrm{\Gamma }(\alpha k+\beta )}$

där Γ betecknar gammafunktionen. Mittag-Leffler-funktionen är en typ av generaliserad funktion som kan användas för att uttrycka flera vanliga speciella funktioner. Exempelvis är

$E_{0,1}(z)=\frac{1}{1-z}$ (geometrisk serie)

$E_{1,1}(z)=e^z$ (exponentialfunktionen)

$E_{2,1}(z)=\cosh \left(\sqrt{z}\right)$ (en hyperbolisk funktion)

$E_{1/2,1}(z)=\exp (z^2)\mathrm{erfc}(-z)$ (felfunktionen)

Relation med Fransén–Robinsons konstant

Fransén–Robinsons konstant kan uttryckas med hjälp av Mittag-Lefflerfunktionen som

$F=\underset{\alpha \to 0}{\lim }\alpha E_{\alpha ,0}(1).$