Fransén–Robinsons konstant

Fransén–Robinsons konstant, ibland betecknad med F, uppkallad efter Herman P. Robinson och Arne Fransén, är en matematisk konstant som representerar arean mellan grafen av den reciproka gammafunktionen, Mall:Math, och den positiva x axeln, det vill säga

$F=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x)}dx.$

Dess approximativa värde är F = 2.8077702420285... Mall:OEIS och dess kedjebråksrepresentation är [2; 1, 4, 4, 1, 18, 5, 1, 3, 4, 1, 5, 3, 6, ...] Mall:OEIS. Integralen kan approximeras som

$F\approx \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(n)}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=e.$

Differensen ges av

$F-e=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-x}}{{\pi }^2+{\ln }^{2}x}dx=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{\int }}{e}^{\pi \tan \theta }{e}^{-e^{\pi \tan \theta }}d\theta .$

Fransén–Robinsons konstant kan uttryckas med hjälp av Mittag-Leffler-funktionen som

$F=\underset{\alpha \to 0}{\lim }\alpha E_{\alpha ,0}(1).$

Man vet inte om det är möjligt att uttrycka konstanten i sluten form med hjälp av andra matematiska konstanter.

Referenser

• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:Tidskriftsref
• Mall:MathWorld