Yule–Walker-ekvationerna

Yule–Walker-ekvationerna är en uppsättning ekvationer som uppstår vid skattning av parametrar för en autoregressiv modell för linjär prediktion.

Givet ekvationen

Y (n) + a_{1} Y (n - 1) + a_{2} Y (n - 2) + \dots + a_{N} Y (n - N) = b_{0} X (n)

,

där $X (n)$ är vitt brus, önskas parametrarna $a_{k}$ beräknas. Genom att multiplicera bägge leden med $Y (n - k)$ fås

Y (n) Y (n - k) + \dots + a_{N} Y (n - N) Y (n - k) = b_{0} X (n) Y (n - k)

Väntevärdet av de bägge leden blir

E [Y (n) Y (n - k) + \dots + a_{N} Y (n - N) Y (n - k)] = E [b_{0} X (n) Y (n - k)]

r_{Y} (k) + a_{1} r_{Y} (k - 1) + \dots + a_{N} r_{Y} (k - N) = b_{0} E [X (n) Y (n - k)]

( $r_{Y} (k)$ är $Y$ :s autokorrelationsfunktion.) Men eftersom $Y$ inte beror av framtida värden av $X$ så är

E [X (n) Y (n - k)] = 0, k > 0

vilket ger ekvationen

a_{1} r_{Y} (k - 1) + \dots + a_{N} r_{Y} (k - N) = - r_{Y} (k)

och ekvationssystemet för $k = 1, \dots, N$ (notera att $r_{Y}$ är symmetrisk, så $r_{Y} (- k) = r_{Y} (k)$ )

(\begin{matrix} r_{Y} (0) & r_{Y} (1) & \dots & r_{Y} (N - 1) \\ r_{Y} (1) & r_{Y} (0) & \dots & r_{Y} (N - 2) \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ r_{Y} (N - 1) & r_{Y} (N - 2) & \dots & r_{Y} (0) \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{N} \end{matrix}) = - (\begin{matrix} r_{Y} (1) \\ r_{Y} (2) \\ ⋮ \\ r_{Y} (N) \end{matrix})

Ekvationssystem kan lösas med gausseliminering, eller, eftersom matrisen är en Toeplitz-matris, genom Levinson-rekursion.

Navigeringsmeny