Autokorrelation

Överst: sinus med brus; nederst: autokorrelation

Autokorrelationen för en stokastisk process beskriver korrelationen mellan processens olika tidpunkter.

Definition

För en tidskontinuerlig stokastisk process $X$ definieras autokorrelationsfunktionen $r_X$ som:

$r_X(t_1,t_2)=E[X(t_1)X(t_2)]$

För en tidsdiskret stokastisk process $X$ definieras autokorrelationsfunktionen $r_X$ som:

$r_X(n_1,n_2)=E[X(n_1)X(n_2)]$

Om den stokastiska processen $X$ är svagt stationär beror autokorrelationen endast på skillnaden mellan $t_1$ och $t_2$ eller $n_1$ och $n_2$, och då skrivs autokorrelationsfunktionen som:

$r_X(\tau )=E[X(t)X(t+\tau )]$ respektive $r_X(k)=E[X(n)X(n+k)]$

Om autokorrelationen är noll för alla $\tau \ne 0$ eller $k\ne 0$ kallas $X$ för en vit process. Fourier-transformen av autokorrelationsfunktionen kallas för effektspektrum.

Estimering

Givet en serie mätdata $x_n,n\in [0,N-1]$ genererad av en svagt stationär stokastisk process $X$ kan autokorrelationen estimeras på två sätt:

1. icke väntevärdesriktigt: ${\hat{r}}_X(k)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-k}x(n)x(n+k)& k\ge 0\\ {\hat{r}}_X(-k)& k<0\end{array}$
2. väntevärdesriktigt: ${\hat{r}}_X(k)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{N-k}\sum _{n=0}^{N-k}x(n)x(n+k)& k\ge 0\\ {\hat{r}}_X(-k)& k<0\end{array}$

I många sammanhang, till exempel för lösning av Yule–Walker-ekvationerna, föredras den icke väntevärdesriktiga varianten. Den väntevärdesriktiga kan då $k$ närmar sig $N$ anta orimligt stora värden.